三角函数专题复习01三角函数概念和诱导公式 训练精讲【老师版】.docxVIP

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三角函数概念和诱导公式

【题型解读】

【知识必备】

1.角的概念

(1)任意角：

①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始的射线叫做角的始边,旋转终止的射线叫做角的终边,射线的端点叫做角的顶点；

②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.

(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α,k∈Z}.

注意：终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.

(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限,称之为轴线角.

2.弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.弧度的单位符号是“rad”,读作“弧度”(用弧度制表示角时,rad常常省略不写).

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad,1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r,扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.

3.任意角的三角函数

(1)单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sinα＝y,cosα＝x,tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).

(2)比值式定义：设P(x,y)是角α终边上任意一点,且|OP|＝r(r＞0),则sinα＝eq\f(y,r),cosα＝eq\f(x,r),tanα＝eq\f(y,x).它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.

注意：三角函数的定义中,当P(x,y)是单位圆上的点时有sinα＝y,cosα＝x,tanα＝eq\f(y,x),但若不是单位圆时,设|OP|＝r,则sinα＝eq\f(y,r),cosα＝eq\f(x,r),tanα＝eq\f(y,x).

(3)三角函数值在各象限的符号：

记忆口诀：“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即第一象限三个三角函数都是正值,第二象限正弦值为正,其余两个为负值；第三象限正切值为正,其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.

4.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.

5.诱导公式

角

函数

2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

函数名不变

符号看象限

函数名改变

符号看象限

统一记忆口诀：“奇变偶不变,符号看象限”,

对于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦；当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号”.

【题型精讲】

【题型一扇形面积公式与弧度制】

必备技巧扇形的弧长和面积的求解策略

(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0α2π).

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

例1(2022·咸阳百灵学校高三月考