2019-2020学年高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数（第一课时）导学案新人教A版必修4.docxVIP

1．2.1任意角的三角函数(第一课时)

[教材研读]

预习课本P11～15，思考以下问题

1．任意角的三角函数的定义是什么？

2．如何判断三角函数值在各象限内的符号？

3．诱导公式一是什么？

[要点梳理]

1．任意角的三角函数的定义

前提

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)

定义

正弦

y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y

余弦

x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x

正切

yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)

三角

函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

2.三角函数值的符号

如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负；

余弦：一四象限正，二三象限负；

正切：一三象限正，二四象限负；

简记口弦：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

3．诱导公式一

即终边相同的角的同一三角函数值相等．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()

2．若sinα＝sinβ，则α＝β.()

3．已知α是三角形的内角，则必有sinα0.()

[答案]1.√2.×3.√

题型一任意角三角函数的定义及应用

思考：对于任意角α，sinα，cosα，tanα都有意义吗？

提示：对于任意角α，只有sinα，cosα都有意义，而终边落在y轴上时，tanα无意义．

(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.

(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

[思路导引]利用三角函数的定义求解．

[解析](1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝52＋－122＝13，

则sinα＝yr＝－1213，cosα＝xr＝513，tanα＝yx＝－125.

(2)直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝－12＋\r(3)2＝2，所以sinα＝3)2，cosα＝－12，tanα＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝12＋－\r(3)2＝2，所以sinα＝－3)2，cosα＝12，tanα＝－3.

[答案](1)－1213513－125(2)见解析

求任意角的三角函数值的两种方法

方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．

方法二：

在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．

[跟踪训练]

设a0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于()

A.25 B．－25

C.15 D．－15

[解析]∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.

即－3a2＋4a2＝1，解得a＝±15.

∵a0，∴a＝－15.

∴P点的坐标为\a\vs4\al\co1(\f(345).

∴sinα＝－45，cosα＝35.

∴sinα＋2cosα＝－45＋2×35＝25.

[答案]A

题型二三角函数在各象限的符号问题

思考1：任意角α的三角函数值的符号与角α的什么有关？

提示：与角α终边所在的象限有关．

思考2：若三角函数值的符号确定，则角的终边所在象限也是唯一确定的吗？

提示：不一定，若已知角α的一个三角函数值的符号，则角α所在的象限可能有两种情况，若已知角α的两个三角函数值的符号，则角α所在的象限就唯一确定．

确定下列各式的符号：

(1)sin105°·cos230°.

(2)sin7π8·tan7π8.

(3)cos6·tan6.

[思路导引]利用三角函数在各象限的符号判断．

[解](1)因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin105°0，cos230°0.

于是sin105°·cos230°0.

(2)因为π27π8π，

所以7π8是第二象限角，

则sin7π80，tan7π80.

所以sin7π8·tan7π80.

(3)因为3π262π，

所以6是第四象限角，

所以cos60，tan60，

则cos6·tan60.

正弦、余弦函数值的正负规律

[跟踪训练]

(1)点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第________象限角．

(2)若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB0，则此三角形必为()

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能

[解析](1)由题意知，tanα0且cosα0，

∴α是第二象限角．

(2)由题意知，A，B∈(0，π)，

∴sinA0，cosB0，∴