2019-2020学年高中数学第2章平面向量223向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4.docxVIP

2．2.3向量数乘运算及其几何意义

[教材研读]

预习课本P87～90，思考以下问题

1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？

2．向量数乘运算满足哪三条运算律？

3．向量共线定理是怎样表述的？

4．向量的线性运算是指的哪三种运算？

[要点梳理]

1．向量的数乘运算

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ0时，λa的方向与a的方向相反．

(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

①λ(μa)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝λa＋μa；

③λ(a＋b)＝λa＋λb；

特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；

λ(a－b)＝λa－λb.

2．向量共线的条件

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

3．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．λa的方向与a的方向一致．()

2．共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．()

3．对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.()

[答案]1.×2.×3.×

题型一向量的线性运算

思考：向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？

提示：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．

化简下列各式：

(1)3(6a＋b)－9\a\vs4\al\co1(a＋\f(13)b)；

(2)123a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(12)b)))－2\a\vs4\al\co1(\f(138)b；

(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

(2)原式＝12\a\vs4\al\co1(2a＋\f(32)b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.

(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a

＝(10a－3a－7a)＋(9b－8b)＋(2c－3c)

＝b－c

向量数乘运算的方法

(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

[跟踪训练]

若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为()

A．－a B．－4b

C．c D．a－b

[解析]3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.

[答案]A

题型二用已知向量表示未知向量

已知在▱ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若→＝e1，→＝e2，试用e1，e2表示→，→.

[思路导引]由→＝2→及→为△MAN的中线可求解．

[解]∵M，N分别是DC，BC的中点，∴MN綊12BD.

∵→＝→－→＝e2－e1，

∴→＝2→＝2e2－2e1.

又∵AO是△AMN的中线，

∴→＝12(→＋→)＝12e2＋12e1.

用已知向量表示未知向量的方法

用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．

[跟踪训练]

如图所示，四边形OADB是以向量→＝a，→＝b为邻边的平行四边形．

又BM＝13BC，CN＝13CD，试用a，b表示→，→，→.

[解]→＝13→＝16→＝16(→－→)＝16(a－b)，

∴→＝→＋→＝b＋16a－16b＝16a＋56b.

∵→＝13→＝16→，

∴→＝→＋→＝12→＋16→

＝23→＝23(→＋→)＝23(a＋b)．

→＝→－→＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.

题型三共线向量定理的应用

思考1：如何证明向量a与b共线？

提示：要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可．

思考2：如何证明A、B、C三点在同一直线上？

提示：证明→与→或→与→共线即可．

(1)已知两个非零向量a与b不共线，→＝a＋b，→＝2a＋8b,→＝3(a－b)