2019-2020学年高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4.docxVIP

3．1.1两角差的余弦公式

[教材研读]

预习课本P124～127，思考以下问题

1．如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)?

2．公式是如何推导的？

[要点梳理]

两角差的余弦公式

公式

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

简记符号

C(α－β)

使用条件

α，β为任意角

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()

2．对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()

3．对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()

[答案]1.×2.×3.√

题型一两角差的余弦公式的正用和逆用

思考：计算下列各式的值

(1)cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________；

(2)cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________；

(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________；

(4)cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.

提示：(1)1(2)3)2(3)0(4)12

求下列三角函数式的值．

(1)sinπ12；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；

(3)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)．

[思路导引](1)利用诱导公式转化成余弦，再用两角差的余弦公式求解；(2)(3)直接利用公式求解即可．

[解](1)原式＝cos\a\vs4\al\co1(\f(ππ12)＝cos512π

＝cos\a\vs4\al\co1(\f(ππ6)＝cos\f(π\rc\6)))

＝cosπ4cosπ6－sinπ4sinπ6＝6)－\r(2)4.

(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.

(3)原式＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]

＝cos(－60°)＝12.

利用公式C(α－β)求值的方法技巧

在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地正用公式或逆用公式求值．

[跟踪训练]

求下列各式的值．

(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；

(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；

(3)12cos15°＋3)2sin15°.

[解](1)cos75°cos15°－sin75°sin195°

＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)

＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°

＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.

(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°

＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)

＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°

＝cos(44°－14°)＝cos30°＝3)2.

(3)∵12＝cos60°，3)2＝sin60°，

∴12cos15°＋3)2sin15°

＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°

＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2)2.

题型二给值求值问题

已知α，β均为锐角，sinα＝817，cos(α－β)＝2129，求cosβ的值．

[思路导引]考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．

[解]∵α∈\a\vs4\al\co1(0，\f(π2))，sinα＝81712，∴0απ6，

又∵α－β∈\a\vs4\al\co1(－\f(ππ6)，cos(α－β)＝21293)2，

∴－π2α－β－π6，

∴cosα＝1－sin2α＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(817)))2＝1517，

sin(α－β)＝－1－cos2α－β

＝－\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2129)))2＝－2029，

∴cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝1517×2129＋817×\a\vs4\al\co1(－\f(2029))＝155493.

三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：

α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)