2019-2020学年高中数学第3章三角恒等变换章末整合导学案新人教A版必修4.docxVIP

章末整合

考点一三角函数的求值问题

三角函数求值主要有三种类型，即：

(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．

(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．

(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．

已知tanα＝－13，cosβ＝5)5，α，β∈(0，π)．

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．

[解](1)由cosβ＝5)5，β∈(0，π)，得sinβ＝5)5，tanβ＝2，

∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13\rc\3))＝1.

(2)∵tanα＝－13，α∈(0，π)，

∴sinα＝1\r(10)，cosα＝－3\r(10).

f(x)＝2sinxcosα－2cosxsinα＋cosxcosβ－sinxsinβ

＝－5)5sinx－5)5cosx＋5)5cosx－5)5sinx

＝－5sinx.

∴f(x)的最大值为5.

利用两角和差的正弦、余弦、正切公式即可求解．

[跟踪训练1]

已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]

＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝130.

而α∈(0，π)，故α∈\a\vs4\al\co1(0，\f(π2)).

∵tanβ＝－17，0βπ，∴π2βπ.

∴－πα－β0.而tan(α－β)＝120，

∴－πα－β－π2.

∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]

＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝1，

∴2α－β＝－3π4.

考点二三角函数的化简与证明

1．三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．

2．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明．

(1)不附加条件的恒等式证明

三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．

(2)条件恒等式证明

这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所附条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．

化简：3)tan370°\r(1＋cos10°).

[解]解法一：原式＝3)tan10°\r(1＋cos10°)

＝cos10°＋\r(3cos10°2cos25°

＝\rc\\r(32)sin10°)2

＝2sin50°＋2sin30°＋10°\r(2)cos5°

＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°]\r(2)cos5°

＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°\r(2)cos5°

＝4sin45°·cos5°\r(2)cos5°＝2.

解法二：原式＝3)tan10°\r(1＋cos10°)

＝cos10°＋\r(3cos10°2cos25°

＝\rc\\r(32)sin10°)2

＝2sin50°＋2sin30°＋10°\r(2)cos5°

＝2sin50°＋2sin40°\r(2)cos5°

＝50°＋40°50°－40°22

＝4sin45°cos5°\r(2)cos5°＝2.

三角函数式化简的基本技巧

(1)sinα，cosα→凑倍角公式．

(2)1±cosα→升幂公式．

(3)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2·sin(α＋φ)，其中tanφ＝ba或asinα＋bcosα＝a2＋b2·

cos(α－φ)，其中tanφ＝ab.

[跟踪训练2]

求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.

[证明]证法一：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x

＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x

＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14

＝1214＝1218

＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－co