数学优化训练：直接证明.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2.2直接证明与间接证明

2.2。1直接证明

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1。已知f（x）=是奇函数,那么实数a的值等于（）

A.1B.-1C。0

答案：A

解析：函数的定义域为R，函数为奇函数且x=0时f（0）=0,

即=0，∴a=1，从而求出较为简单.

也可根据奇函数的定义f(-x)=-f(x）恒成立,

即=，即=恒成立，

即2a+a·2x+1=2x+1+2∴a=1成立，较烦琐.

2。已知a、b是不相等的正数，x=,y=,则x、y的关系是（）

A.x〉yB.yxC。x〉yD.不确定

答案：B

解析：要比较x、y的大小，∵x0,y〉0,

只需比较x2、y2的大小,即与a+b的大小.

∵a、b为不相等的正数,∴2a+b。

∴〈a+b，

即x2y2.∴x〈y.

3.已知p=a+(a〉2),q=,则…（）

A.p〉qB。pqC。p≥qD.p≤q

答案：A

解析：p与q不能直接进行比较，只能先判断p和q的取值范围。

∵a〉2，∴p=a+=a-2++2≥2+2=4。

而q==.∵a〉2,∴—（a—2）2+2〈2.

∴22=4。∴q4，从而作出比较.

4。若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β)=____________。

解析：观察已知条件中有三个角α、β、γ,而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin2γ+cos2γ=1消去γ.

即sinγ=-（sinα+sinβ）,

cosγ=-(cosα+cosβ）,

∴（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ)2=sin2γ+cos2γ=1，

整理得出cos(α+β）的值即可.

答案：

10分钟训练（强化类训练,可用于课中）

1。下面叙述正确的是（）

A。综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法

C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的

答案：A

2.A、B为△ABC的内角，AB是sinA〉sinB的()

A.充分不必要条件B。必要不充分条件

C.充要条件D。既不充分也不必要条件

答案:C

解析:A〉Bab2RsinA2RsinBsinAsinB。

3。已知|x|1,|y|〈1,下列各式成立的是（)

A。｜x+y|+｜x-y｜≥2B.x=y

C。xy+1〉x+yD.|x|=|y|

答案：C

解析:取x=y=0时,｜x+y｜+|x-y｜〈2,知A假,取x=0,y=时,知B、D假，C作差可证明.

4。已知α、β为实数,给出下列三个论断：

①αβ0;②｜α+β|〉5；③|α|〉2,｜β｜2.

以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。

解析：∵αβ〉0,|α｜2,|β｜〉2,

∴｜α+β｜2=α2+β2+2αβ8+8+2×8=32〉25。

∴|α+β｜5。

答案:①③②

5。设a=,b=,c=-,则a、b、c的大小关系为______________。

解析：可通过作差进行比较，a-b=+，

可进一步比较+与的大小,即比较（+）2与7的大小,即5+2与7的大小，∵2,∴5+27,

∴ab,同理可比较a、c，b、c的大小。

答案：a〉c〉b

6.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.

求证：△ABC为等边三角形。

证明:∵A、B、C成等差数列，∴B=60°.

∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos60°

=a2+c2—ac。

∴a=c。∴△ABC为正三角形.

30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）

1.下列条件:①ab0；②ab〈0;③a0，b〈0。其中能使不等式+≥2成立的条件个数为(）

A。1B。2C.3

答案：A

解析：≥2≥0.