高中数学人教A版必修第一册：4.1 指数-教学设计第一课时.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一年级

学期

秋季

课题

4.1指数（第一课时）

教学目标

1.回顾正整数指数幂到整数指数幂的推广过程及平方根立方根的概念学习，类比形成次方根，理解根式的概念与意义，掌握根式的性质，通过类比体会从一般到特殊的过程，培养核心素养。

2.通过将整数指数幂转化为被开方数指数能被根指数整数的根式，推广到被开方数指数不能被根指数整数的根式，体会运算法则规定的合理性，掌握根式与分式指数幂的互化。

3.理解分数指数幂的意义，能够运用有理数指数幂的运算性质进行化简求值，提升学生的运算素养。

教学重难点

教学重点：

1.类比初中正整数指数幂到整数指数幂的推广，进一步将指数推广到有理数。

2.从数系推广运算法则的相容，理解有理数指数幂的运算性质。

教学难点：

1.建立指数幂推广的整体框架。

2.在推导中理解根式性质、分式指数幂及有理数指数幂的运算性质。

教学过程

环节一、认识与回顾

从幂函教学中预留下的一个符号出发，自然发出疑问，当幂指数是分数时，意义是什么？

【设计意图】让学生明确扩展分数指数型幂的必要性，同时衔接上下内容，体现知识学习的连贯性。

问题1：回顾初中指数幂的学习过程，尝试回答，的意义。

师生活动：正整数指数幂，观察

回顾正整数指数幂运算律：（1）（2）

（3）（4）

若指数律一律成立，，所以我们规定，，基于此，得到了正整数指数幂及负整数指数幂的意义，同样地，由于，因此我们定义，因此得到整数指数幂的定义：

（1）正整数指数幂：

（2）负整数指数幂：

（3）零指数：

问题2：回顾正整数指数幂到整数指数幂的数域拓展过程，推广的原则是什么？

学生预设：通过保持运算律，来增大适用范围

【设计意图】初中正整数指数幂到整数指数幂的拓展回顾，帮助学生回顾数系推广的研究体系，为学生后续的研究提供参考，同时指出推广的原则是运算律的一致性，而后续的继续推广正是需要用到这种运算的一致性，同时推导的过程培养学生的逻辑推理能力及分类思想。

问题3：尝试回答的意义

师生活动：将指数从整数推广到有理数，且要满足运算律，因此有，所以，的次方等于，且初中定义若满足，则称的立方根为，因此，则方程的解为，叫做的立方根。

【设计意图】借助运算律的一致性，对特殊个例的分数指数幂进行分析，得到与初中学习的立方根具有一定的关系，引发学生主动思考，为根式和分式指数幂的关系说明做铺垫，培养学生从特殊到一般的能力。

环节二、类比与定义

问题4：除了立方根，初中阶段还学习了平方根，它们的定义如下：如果，那么叫做的平方根，例如，那么的平方根是；如果，那么叫做的立方根，例如，那么的平方根是，类比以上定义，能给出方根、次方根的定义吗？

学生预设：如果，那么叫做的次方根，例如，那么的次方根是，如果，那么叫做的次方根，例如，那么的5次方根是，更一般地，那么叫做的次方根，记作，且，

【设计意图】定义的类比概括，培养学生的抽象概括能力。

问题5：方程且若满足，等，是否有实数解？解的情况如何？有什么意义？

学生预设：由于任何数的偶数次方均为非负数，因此无解，同理，即的解为，称为的次方根

环节三、理解与探究

问题6：任意，是否存在实数解？若存在，解的情况如何？可以举例说明

师生活动：通过以上计算，我们可以得到要研究解的情况就需要对的正负及的奇偶进行分类。

【设计意图】从具体到抽象的逐步推广，最终归纳得到n次方根的定义，再通过具体的实例，辨析一个实数n次方根的存在性，培养学生的数学逻辑推理能力及运算能力。

环节四、应用与归纳

探究：求解下列式子，并尝试总结次方根的性质

（1）（2）（3）

问题7：根据次方根的定义可得，反之是否成立？若不成立，等于什么？

（4）（5）（6）

（7）（8）（9）

师生活动：通过以上探究可得到：

为奇数时，，为偶数时，

【设计意图】学习n次方根的表示，并将n次方根推广到式，通过求解具体根式求值问题，初步理解根式意义，并观察运算中的规律，归纳根式的性质，同时培养学生的类比研究能力及分类讨论的思维习惯。

例1.利用根式性质求解下列的值

（1）（2）（3）（4）

学生预设：（1）（2）

（3）（4）

【设计意图】再应用中理解根式的意义与性质，培养学生思维的严谨性，在实践中消灭易错点，为后续的分数指数幂学习做铺垫。

环节五、发现与推广

追问：观察，2与5、10之间有什么关系？观察，3与4、12之间有什么关系？由此你能得到什么结论？

学生预设：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式

问题8：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？

符合运算律中的

符合运算律中的

师生活动：由此我们规