北京市人大附中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期11月考试数学试题.docxVIP

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上学期高三年级期中试卷

数学试题

一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

1.已知集合,,则()

A. B. C. D.

2.下列函数既是奇函数,又在上单调递增的是()

A. B. C. D.

3.若,,,则向量与的夹角为()

A. B. C. D.

4.设为等比数列的前项和,已知,,则公比()

A.2 B. C. D.

5.下列命题中,真命题的是()

A.若,则 B.若,则

C.若,则 D.若,则

6.设,,是三个不同平面,且,,则“”是“”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.的部分图象如图所示,则以下说法正确的是()

A., B., C., D.,

8.已知向量,满足,,若,且,则的最大值为()

A.3 B.2 C. D.

9.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图2),这两个三棱柱有一个公共侧面.在底面中,若,,则该几何体的体积为()

A. B. C.27 D.

10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口,创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术,设计了如下实验:目标在地面轨道上做匀速直线运动;在地面上相距7m的,两点各放置一个传感器,分别实时记录,两点与物体的距离.科技小组的同学根据传感器的数据,绘制了“距离-时间”函数图像,分别如曲线,所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线经过,和,曲线经过.已知,,,并且从时刻到时刻的运动轨迹与线段相交.分析曲线数据可知,的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及的速度大小分别为()

A., B., C., D.,

二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)

11.复数_________;对应的点坐标为_________;虚部是_________;模长为_________;共轭复数是_________.

12.已知角在第二象限,且,则_________.

13.在中,,,分别是角,,的对边,且,则角的取值范围为_________.

14.设函数(且).给出下列四个结论:

①当时,存在,方程有唯一解;

②当时,存在,方程有三个解;

③对任意实数(且),的值域为;

④存在实数,使得在区间上单调递增;

其中所有正确结论的序号是_________.

15.已知数列的前项和为,且,,给出下列四个结论:①长度分别为1,,的三条线段可以构成一个直角三角形;②,;③,;④,.其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题:(本大题共5小题,共85分.)

16.(14分())已知函数.

(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)求不等式的解集;

(Ⅲ)从条件①,条件②,条件③选择一个作为已知条件,求的取值范围.

①在有恰有两个极值点;

②在单调递减;

③在恰好有两个零点.

注:如果选择的条件不符合要求,0分;如果选择多个符合要求的条件解答,按第一个解答计分.

17.(13分())若同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个,请选择一组这样的三个条件并解决下列问题:

(Ⅰ)求边的值;

(Ⅱ)求的面积.

条件①:;条件②:;条件③:;条件④:.

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(14分())如图,在三棱柱中,,平面,,,分别是,的中点.

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)证明:平面;

(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.

19.(14分())已知函数,其中为常数且.

(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;

(Ⅱ)讨论函数的单调区间;

(Ⅲ)当时,若在点处的切线分别与轴和轴于,,两点,为坐标原点,记的面积为,求的最小值.

20.(15分())已知在处的切线方程为.

(Ⅰ)求实数,的值;

(Ⅱ)证明:仅有一个极值点,且.

(Ⅲ)若,是否存在使得恒成立,存在请求出的取值范围,不存在请说明理由.

21.(15分())已知有限数列,从数列中选取第项、第项、…、第项,顺次排列构成数列,其中,,则称新数列为的长度为的子列.规定:数列的任意一项都是的长度为1的子列,若数列的每一子列的所有项的和都不相同,则称数列为完全数列.设数列满足,,.

(Ⅰ)判断下面数列的两个子列是否为完全数列,并说明由;

数列①:3,5,7,9,11;数列②:2,4,8,16.

(Ⅱ)数列的子列长度为,且为完全数列,证明:的最大值为6;

(Ⅲ)数列的子列长度,且为完全数列,求的最大值.

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