专题2.4 指数与指数函数（模拟+真题,精练）解析版.docx

专题2.4指数与指数函数

一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】借助指数函数的单调性与绝对值的性质可得集合，借助对数函数定义域计算可得集合，即可得，再利用交集定义即可得解.

【详解】由题意知，

，故，

所以．

故选：A．

2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小.

【详解】因为在上单调递增，又，所以，即，

因为，所以，即，

因为在上单调递增，

所以，所以，

因为，所以，即，

所以．

故选：D．

3．（2024·天津南开·二模）已知，，，则（????）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断.

【详解】因为，

，，

故.

故选：C.

4．（2024·山东青岛·二模）已知正数满足，则的大小关系为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性及零点存在性定理比较大小.

【详解】由，得，

令函数，显然函数在上单调递增，

而，，则；

令函数，函数在上单调递增，，

而，，则；

令，函数在上单调递增，而，

，，则，

所以的大小关系为.

故选：D

5．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若，则的图象为：

可知在上单调递增；

若，则的图象为：

可知在上单调递减；

综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.

故选：C．

6．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】C

【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案.

【详解】因为函数为偶函数，所以，

所以的图象关于对称，

令，则，

可得函数的图象关于对称，

所以函数的图象关于对称，

则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个，

则所以.

故选：C.

7．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（????）倍

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意分别求得震级和时的释放的能量，进而求得两次地震释放的能量比.

【详解】设里氏震级时释放的能量为，里氏震级时释放的能量为，

则，，

所以，，

所以，

即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的倍，

故选：C.

8．（2024·福建南平·模拟预测）函数的部分图像大致为（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】A

【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD，计算即可排除B.

【详解】因为，所以为偶函数，

故C，D项错误；

又，故B项错误．

故选：A．

9．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.

【详解】由，，可知，

.

故选：B

10．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小.

【详解】由函数是增函数，则，所以，

由函数是增函数，则，所以，

由函数是减函数，则，所以，

由，，

由函数是增函数，则，即，

故选：B.

11．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，得到，分别代入、，得到和的值，进而得到，求解即可.

【详解】由，得到，

当时，；

当时，.

依题意，明年的产量将是今年的倍，得：，

，即，解得.

，.

故选：A.

12．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，