高中数学人教A版必修第二册复习课：平面向量概念与线性运算.docx

平面向量概念及线性运算（复习课）教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高一年级

学期

春季

课题

平面向量概念及线性运算（复习课）

教学目标

1.掌握平面向量基本概念,理解特殊向量特征.

2.体会向量在研究物理中的作用，了解平面向量的实际背景.

3.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.

4.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.

教学重难点

教学重点：

1.平面向量的线性运算性质及其几何意义.

2.用向量证明共线等问题.

教学难点：

1.向量线性分解和加减法.

2.用向量解决实际问题.

教学过程

一复习引入

向量是向量概念在16、17世纪由物理过渡到数学，当时很多物理兼数学大师在研究位移、速度、力、加速度等物理模型时，根据这类既有大小又有方向的量，提出了向量的概念，补充了向量的意义和运算规则，从此向量在数学物理中作为重要的工具思想开始不断焕发活力。可以帮助我们简化解题过程！

向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2、向量的线性运算

2.1向量的加法

①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.

②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）

已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）

已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

2.2向量的减法

①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.

②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）

已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示

如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.

2.3向量的数乘

向量数乘的定义:

一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：

①

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.

3、共线向量定理

①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.

②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．

4、常用结论

4.1向量三角不等式

①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；

②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；

记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立。

4.2中点公式的向量形式：

若为线段的中点，为平面内任意一点，则.

4.3三点共线等价形式：

（，为实数），若，，三点共线

二概念辨析

探究一：向量概念

例1给出下列说法:

(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

(2)若A,B,C,D是不共线的四个点,则“BA=CD”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;

(3)“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”;

(4)若a,b满足|a||b|且a与b同向,则ab.

其中正确说法的个数是 ()

A.1 B.2

C.3 D.4

[思路点拨]根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,判断正误即可.

A[解析]对于(1),若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等,但两个相等向量不一定有相同的起点和终点,故(1)中说法错误.对于(2),∵BA=CD,∴|BA|=|CD|且BA∥CD,又∵A,B,C,D是不共线的四个点,

∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则BA=CD,故(2)中说法正确.对于(3),当a∥b且a,b的方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件,故(3)中说法错误.对于(4),向量不能比较大小,故(4)中说法错误.故选