高考数学热点专题7之4立体几何中的空间距离（原卷版）.docxVIP

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立体几何中空间距离问题

思路引导

思路引导

1．点到直线的距离

设eq\o(AP,\s\up7(―→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up7(―→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up7(―→))＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(―→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(―→))|2)＝eq\r(a2－?a·u?2)．

2．点到平面的距离

已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，

交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up7(―→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up7(―→))的长度．因此PQ＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(―→))·n|,|n|)．

母题呈现

母题呈现

【典例】如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直线DE到平面PBC的距离．

【解题技法】求点面距常见的三种方法

(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；

(2)等体积法；

(3)向量法．

其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．

【跟踪训练】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.

(1)求证：平面；

(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

方法总结

方法总结

(1)向量法求点到直线距离的步骤

①根据图形求出直线的单位方向向量v.

②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).

③垂线段长度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－（\o(MN,\s\up6(→))·v）2).

(2)求点到平面的距离的常用方法

①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.

②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.

③等体积法.

④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).

模拟训练

模拟训练

1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．

(1)求证：；

(2)当为中点时，求点到平面的距离；

2．（2023·河南焦作·统考一模）在如图所示的六面体中，平面平面，，，．

(1)求证：平面；

(2)若AC，BC，两两互相垂直，，，求点A到平面的距离．

3．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.

(1)证明：；

(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.

4．（2023·上海·统考模拟预测）已知三棱锥中，平面，，M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F．

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)证明：平面，并求直线到平面的距离．

5．（2022·浙江·模拟预测）已知长方体，，，，P，Q，R分别为AB，，的中点.

(1)证明：；

(2)求到平面的距离.

6．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.

(1)证明：；

(2)求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；

(3)求点D到平面AMP的距离.

7．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．

(1)求证：；

(2)求点到侧面的距离；

(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

8．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.

(1)证明：平面平面；

(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.

9．（2022·青海·校联考模拟预测）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩