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函授高数试题及答案

一、选择题

1.设函数f(x)=x^2-2x-3，其中x∈R，则f(x)的单调递增区间

为：

A.(-∞,-1)

B.(-1,1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

答案：D

2.已知函数f(x)=3^x，其中x∈R，则f(x)过点(0,1)和(1,3)的

直线方程为：

A.y=x

B.y=3x

C.y=3x+1

D.y=3x-1

答案：C

3.求下列函数的导数：y=3x^2-4x+1

A.y=6x-4

B.y=6x+4

C.y=6x-2

D.y=3x^2-4x

答案：A

4.求函数y=ln(x^2-3x)的导数：

A.y=2x-3

B.y=2x-3x

C.y=2x-3/x

D.y=1/(x^2-3x)

答案：C

5.设函数f(x)=x^3+x^2-x+1，则f(x)=

A.3x^2+2x-1

B.3x^2+2x+1

C.3x^2-2x-1

D.3x^2-2x+1

答案：A

二、填空题

1.设函数f(x)=a^x，其中a0，则对任意x∈R，f(x)=_______。

答案：a^x*(ln(a))^2

2.若f(x)=x^3+bx^2+cx+d是增函数，则常数b,c,d的符号关系

是：b_______c_______d。

答案：

3.设y=e^x(1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3)(截断在第三项)，则y的

极限为_______。

答案：e

4.若f(x)是可导函数，f(1)=2，f(x)0，则f(2)_______。

答案：2

5.若f(x)=ln(g(x))，则f(x)=_______。

答案：g(x)/g(x)

三、解答题

1.求函数f(x)=ln(x^2)的导数。

解答：

由对数函数的导数性质可知，ln(x^2)的导数等于2/x。

即f(x)=2/x。

2.设函数f(x)=e^x*sin(x)，求f(x)。

解答：

由乘积法则可得，f(x)=(e^x*sin(x))=(e^x)*sin(x)+2(e^x)*

(sin(x))+e^x*(sin(x))。

化简得f(x)=e^x*sin(x)+2e^x*cos(x)+e^x*(-sin(x))=e^x*

(sin(x)+2cos(x)-sin(x))=2e^x*cos(x)。

3.求函数f(x)=ln(1+e^x)的反函数f^(-1)(x)。

解答：

令y=ln(1+e^x)，则e^y=1+e^x。

移项得e^x=e^y-1，取对数得x=ln(e^y-1)。

因此，f^(-1)(x)=ln(e^x-1)。

四、应用题

1.购房贷款问题：小明贷款买了一套总价值200万元的房子，按揭

首付比例为30%，贷款期限为20年，年利率为5%。请计算小明每月

需要偿还的贷款金额。

解答：

首付金额=200万元*30%=60万元

贷款金额=200万元-60万元=140万元

年利率=5%=0.05

贷款期限=20年=240个月

每月偿还贷款金额=贷款金额*月利率/(1-(1+月利率)^(-贷款期

限))

=140万元*0.05/(1-(1+0.05)^(-240))

≈9759.32元

小明每月需要偿还的贷款金额约