2019-2020学年高中数学第1章三角函数142正弦函数余弦函数的性质（第一课时）导学案新人教A版必修4.docxVIP

1．4.2正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)

[教材研读]

预习课本P34～37，思考以下问题

1．周期函数的定义是什么？

2．如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？

3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？

[要点梳理]

1．周期函数

(1)周期函数的概念

(2)最小正周期

条件

周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数

结论

这个最小正数叫做f(x)的最小正周期

2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数

y＝sinx

y＝cosx

周期

2kπ(k∈Z且k≠0)

2kπ(k∈Z且k≠0)

最小正周期

2π

2π

奇偶性

奇函数

偶函数

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．由于sin\a\vs4\al\co1(\f(ππ4)＝sinπ4，则π2是函数y＝sinx的一个周期．()

2．因为sin\a\vs4\al\co1(\f(x3)＋4π)＝sinx3，所以函数y＝sinx3的周期为4π.()

3．函数y＝sin\a\vs4\al\co1(\f(π2)x)是奇函数．()

[答案]1.×2.×3.√

题型一三角函数的周期

思考：1若f(2x＋T)＝f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？

提示：不是．自变量x本身加非零常数T才可以，即f(x＋T)＝f(x)．

思考：2周期函数的定义域一定是x∈R吗？

提示：不一定．但周期函数的定义域一定是无限集．

求下列函数的周期．

(1)f(x)＝cos\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π3))；(2)f(x)＝|sinx|.

[思路导引]求函数周期时可利用定义f(x＋T)＝f(x)也可用公式T＝2π|ω|还可以利用图象求解．

[解]解法一：定义法

∵f(x)＝cos\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π3))＝cos\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π3)＋2π)

＝cos2x＋π＋\f(π3))＝f(x＋π)，

即f(x＋π)＝f(x)，

∴函数f(x)＝cos\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π3))的周期T＝π.

解法二：公式法

∵y＝cos\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π3))，∴ω＝2.

又T＝2π|ω|＝2π2＝π.

∴函数f(x)＝cos\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π3))的周期T＝π.

(2)解法一：定义法

∵f(x)＝|sinx|，

∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|

＝f(x)，

∴f(x)的周期为π.

解法二：图象法

函数y＝|sinx|的图象如图所示，

由图象可知T＝π.

求函数最小正周期的常用方法

除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝2π|ω|求得；

(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．

【温馨提示】求函数最小正周期的两点说明

(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x.

(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．

[跟踪训练]

求下列函数的周期．

(1)y＝3sin\a\vs4\al\co1(\f(π2)x＋3)；

(2)y＝|cosx|.

[解](1)∵y＝3sin\a\vs4\al\co1(\f(π2)x＋3)，∴ω＝π2.

又T＝2π|ω|＝2ππ2＝4，

∴函数y＝3sin\a\vs4\al\co1(\f(π2)x＋3)的周期T＝4.

(2)∵f(x)＝|cosx|，

∴f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|＝f(x)，

∴f(x)＝|cosx|的周期T＝π.

题型二三角函数的奇偶性

思考：对于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？

提示：奇偶性．

判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin\a\vs4\al\co1(－\f(1π2)；

(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；

(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.

[思路导引]先看定义域，再利用若f(－x)＝f(x)则为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则为奇函数求解．

[解](1)显然x∈R,f(x)＝cos12x，

f(－x)＝cos\a\vs4\al\co1(－\f(12)x)＝c