2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语14全称量词与存在量词练习（含解析）新人教A版选修2-1.docxVIP

1.4全称量词与存在量词

课时过关·能力提升

基础巩固

1下列命题不是全称命题的是()

A.任何一个实数乘零都等于零

B.每一个向量都有大小

C.自然数都是正整数

D.存在没有最大值的二次函数

解析:选项A中“任何一个”、选项B中“每一个”均是全称量词,选项C中暗含全称量词“所有的”,故A,B,C项都是全称命题.选项D中“存在”是存在量词,故D项是特称命题.

答案:D

2下列命题中的假命题是()

A.∀x∈R,2x-10 B.∀x∈N*,(x-1)20

C.∃x∈R,lgx1 D.∃x∈R,tanx=2

答案:B

3命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是()

A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1

B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1

C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1

D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1

答案:A

4命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()

A.所有实数的平方都不是正数

B.有的实数的平方是正数

C.至少有一个实数的平方是正数

D.至少有一个实数的平方不是正数

解析:由命题“所有实数的平方都是正数”为全称命题,则其否定为特称命题.

答案:D

5若命题p:“∀x∈R,x2-2x+m≠0”是真命题,则实数m的取值范围是()

A.[1,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,1]

解析:依题意,方程x2-2x+m=0没有实数根,则4-4m0,解得m1.

答案:B

6命题“∃x0∈R,x02-x0+1=0”的否定是___________________________.

答案:∀x∈R,x2-x+1≠0

7命题“∃x0∈(1,2),满足不等式x02+mx0+4≥0”是假命题,则m的取值范围为.

解析:依题意,不等式x2+mx+40在(1,2)上恒成立,

所以m-x+4x.

令f(x)=-x+4x,

因为x∈(1,2),所以f(x)∈(-5,-4),要使不等式m-x+4x恒成立,应满足m≤-5,

故实数m的取值范围是(-∞,-5].

答案:(-∞,-5]

8下列语句是真命题的是.(填序号)

①所有的实数x都能使x2-3x+60成立;②存在一个实数x0,使不等式x02-3x0+60成立;③存在一个实数x0,使x02-3x0+6=0.

答案:①

9对任意实数x,不等式2xm(x2+1)恒成立,求实数m的取值范围.

分析:2xm(x2+1)恒成立也就是对∀x∈R,mx2-2x+m0恒成立,考虑m是否为零.若为零,则原式化为-2x0,显然不恒成立;若m≠0,则m0,且Δ0.

解:不等式2xm(x2+1)对任意x都成立,即不等式mx2-2x+m0恒成立.

(1)当m=0时,不等式化为-2x0,显然不恒成立,不合题意.

(2)当m≠0时,要使mx2-2x+m0恒成立,

则m0,(-2)2-4m20,解得m-1.

综上可知,所求实数m的取值范围为(-∞,-1).

10已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p∧q”是真命题,求实数a的取值范围.

解:由p∧q是真命题,知p为真命题,q也为真命题.

若p为真命题,则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立.

所以a≤1.

若q为真命题,则关于x的方程x2+2ax+2-a=0有实根,所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.

综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.

能力提升

1命题“关于x的不等式f(x)0有解”等价于()

A.∃x0∈R,f(x0)0 B.∃x0∈R,f(x0)≤0

C.∀x∈R,f(x)0 D.∀x∈R,f(x)≤0

解析:该命题是特称命题,等价于“∃x0∈R,f(x0)0”.

答案:A

2已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p是()

A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0

B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0

C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)0

D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)0

解析:由命题p为全称命题,则其否定p应是特称命题,而(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0的否定为(f(x2)-f(x1))(x2-x1)0,故选C.

答案:C

3命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5

解析:原命题等价于“a≥x2对于任意x∈[1,2]恒成立”,得a≥4,这是命题成立的充要条件,因此该命题为真的一个充分不