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第2章控制系统的数学模型

【基本知识点】

1.数学模型

系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。在控制系统的

分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。常用的数学模型有微（差）分方程、传递函数、

结构图、信号流图、频率特性及状态空间描述等多种形式，本章主要介绍四种，即微分方程、

传递函数、结构图和信号流图。

控制系统数学模型的建立方法有解析法和实验法。用解析法建立系统的数学模型时，应

根据元件及系统的特点和连接关系，按照它们所遵循的物理、化学规律，列写各物理量之间

关系的数学表达式；用实验法建立控制系统的数学模型时，要对系统施加典型测试信号（阶

跃、脉冲和正弦信号等），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递

函数或频率特性。

建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。求取系统性能指标的主要途径

如图2-1所示。

图2-1求取性能指标的主要途径

2.系统的微分方程

系统微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程的一

般步骤如下：

（1）根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量；

（2）根据物理或化学定律（注意考虑负载效应），列出系统各组成元件的原始方程；

（3）在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行

线性化处理；

（4）从系统输入端开始，依照信号的传递顺序，在所有元件的方程中消去中间变量，

最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程；

（5）对求出的系统微分方程进行标准化处理，即将与输出有关的各项放在等号左侧，

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而将与输入有关的各项置于等号右侧；等号左、右侧各项均按降幂形式排列。

求解线性微分方程的方法有很多，在自动控制理论中常用拉氏变换法求解微分方程，其

解即是系统的时间响应函数，方法和步骤如下：

（1）对微分方程的各项进行拉氏变换；

（2）对变换后的方程进行整理，求出待求变量的像函数表达式；

（3）对像函数进行拉氏反变换，可得到对应的原函数表达式，即是系统的时间响应

函数。

3.传递函数

（1）传递函数的定义

对于线性定常连续系统，在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称

为系统的传递函数。传递函数是为方便进行系统分析所引出的数学模型的另外一种形式。由

它的定义可知，传递函数只适合于线性定常连续系统。

（2）传递函数的性质

①传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn，且所有系数均为实数。

②传递函数是系统输入输出关系的表达式，它只取决于系统的结构参数，与系统的

输入信号的具体形式无关，只与系统输入输出信号的位置有关，即与系统或元件的结构和

参数有关。

③传递函数与微分方程是一一对应的，可相互转换。

④传递函数的拉氏反变换是系统在单位脉冲作用下的响应，其脉冲响应反映了系统

的固有特性。

⑤一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。

（3）传递函数的局限性

①传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，对于多输入多输出系统，则应采

用传递函数矩阵表示系统各变量之间的关系。

②传送函数原则上只反映零初始条件下的动态特性。

（4）传递函数的求取

传递函数的求取方法有三种：

①利用传递函数的定义；

②利用结构图等效变换；

③利用信号流图。

利用传递函数的定义求解传递函数，主要适合于求典型环节传递函数的情况。

结构图是系统传递函数的图形化表示。它最大的优点是可以形象直观地表示出动态过程

中系统各环节的数学模型及其相互关系。通过结构图的等效变换可以求出系统的传递函数。

由结构图等效变换求解传递函数，主要是移动比较点和引出点的位置（见表2-1），将其化

为三种典型的连接形式，即串联、并联和反馈连接，从而求得系统或环节的传递函数。应注

意的是，变换过程中相加点和分支点之间一般不宜相互变换位置。

信号流图也是一种用图形表示线性系统方程组的方法。信号流图与结构