高中数学复习专题44 二项式定理（原卷版）.docxVIP

专题44二项式定理

【题型归纳目录】

题型一：求二项展开式中的参数

题型二：求二项展开式中的常数项

题型三：求二项展开式中的有理项

题型四：求二项展开式中的特定项系数

题型五：求三项展开式中的指定项

题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数

题型七：求二项式系数最值

题型八：求项的系数最值

题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

题型十：求奇数项或偶数项系数和

题型十一：整数和余数问题

题型十二：近似计算问题

题型十三：证明组合恒等式

题型十四：二项式定理与数列求和

题型十五：杨辉三角

【考点预测】

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

（1）二项式定理

一般地，对于任意正整数，都有：，

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，

其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，

（2）二项式的展开式的特点：

①项数：共有项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次

数从到，每一项中，，次数和均为；

④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系

数）．

（3）两个常用的二项展开式：

①（）

②

（4）二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：

公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；

②字母的次数和组合数的上标相同；

③与的次数之和为．

注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．

②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．

2、二项式展开式中的最值问题

（1）二项式系数的性质

=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．

=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．

=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．

=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，

则，

从而得到：．

=5\*GB3⑤最大值：

如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．

（2）系数的最大项

求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．

知识点3、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

（1）设，

二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．

①令，可得：

②令，可得：，即：

（假设为偶数），再结合①可得：

．

（2）若，则

①常数项：令，得．

②各项系数和：令，得．

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；

偶数项的系数和为．

（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；

偶数项的系数和为．

（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

若，同理可得．

注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．

【典例例题】

题型一：求二项展开式中的参数

例1．（2022·湖南·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则实数（????）

A．2 B．-2 C．8 D．-8

例2．（2022·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（????）

A．－1 B．1 C．±1 D．2

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（????）

A．2 B．-2 C．2或-2 D．4

例4．（2022·湖北·高三阶段练习）若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

例5．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））展开式中的系数为，则（????）

A．2 B．1 C．3 D．

【方法技巧与总结】

在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．

题型二：求二项展开式中的常数项

例6．（2022·全国·高三阶段练习（理））展开式中的常数项为（????）

A． B． C． D．

例7．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）的展开式中的常数项为（????）

A． B．60 C．64 D．120

例8．（2022·全国·高三专题练习（理））二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（????）