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3.1给定（1）的假设，证明（2）中的假定与之等价。
（1）（2）
（1）（2）
（1）(2)
3.1（1）Yi=β1+β2Xi+ui，因此
E（Yi/Xi）=E[(β1+β2Xi+ui)|Xi]
=β1+β2Xi+E(ui/Xi)
=β1+β2Xi
（2）假定对于所有的i,j(i≠j)都有cov(ui,uj)=0,于是
cov(Yi,Yj)=E(ui,uj)
=E(ui)E(uj)
=0
（3）var（Yi|Xi）=E[Yi-E(Yi)]2
=E（ui2）
=var(ui|Xi)
=σ2
3.3
3.3PRF是Yi=β1+β2Xi+ui，
①：β1=0，β2=1且E（ui）=0，从而E（Yi/Xi）=Xi。
②：β1=1，β2=0且E（ui）=Xi-1，从而E（Yi/Xi）=Xi。与①相同。
因此，尽管在两种情形中假定的参数值完全不同，但如果没有E（ui）=0这个假定，我们所得到的Y的条件分布可能是一样的，因此就无法估计参数。
（3.5.13）式为r=,两个变量的均值为==，
===
同理=
于是
故
又因为
故得=
带入（3.5.13）式即得
3.9考虑如下双变量PRF表达式：
a.求β1与ɑ1的估计量.它们是否相同?它们的方差是否相同?
b.求β2与ɑ2的估计量，它们是否相同?它们的方差是否相同?
c.如果模型11比模型I好，好在哪里?
a.，
，
所以它们的估计量不同,方差也不相等。
b.
所以它们的估计值和方差都相等。
c.当X较大时使用模型=2\*ROMANII更好，因为计算相对简单，运行速度更快。
3.14在总体回归模型中，每个X都乘2，或都加2，对Y的残差和拟合值有什么影响。
解：Y的残差和拟合值都不会改变。
（1）令
，
，
，
所以
QUOTEYi=α1+
（2）将每个X值加上2,
令，则，
，
，
则Y的拟合值和残差不变。
解：
计算r得，
(10*206800-1720*1110)/((10*328600-1720*1720)*(10*130900-1110*1110))^0.5=1.000496058
计算r得，
(10*204200-1680*1110)/((10*315400-1680*1680)*(10*133300-1110*1110))^0.5=0.968748122
3.22表3-7给出1974-2006年向美国的黄金价格、消费者价格指数(CPl)和纽约证券交易所指数(NYSElndex)数据.NYSE指数包括在NYSE上市的1500多种股票中的大多数.
解：a、在同一个散点图中描绘黄金价格、CPI和NYSE指数
b.CPI衡量通货膨胀，如果假设成立，则要求不小于1。
拟合得Goldpricet=215.286+1.038CPIt+ui
NYSEt=-3444.992+50.297CPIt+ui
所以，股票市场比黄金更能对付通货膨胀，实现保值。
首先用MATLAB生成随机数，ui服从均值为0方差为9的正态分布。得到：
clearall
a=normrnd(0,3,100,1)
然后得出根据Y的值，描点，回归得出参数的估计
重复100次
从上图观察中得到，β1,β2的估计值是围绕着真值波动的，β1,β2估计值得均值等于真值，而且β1,β2的分布于ui的分布近似。
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