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函数零点问题的八种题型

【方法技巧与总结】

1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

【题型归纳目录】

题型一：零点问题之一个零点

题型二：零点问题之二个零点

题型三：零点问题之三个零点

题型四：零点问题之max，min问题

题型五：零点问题之同构法

题型六：零点问题之零点差问题

题型七：零点问题之三角函数

题型八：零点问题之取点技巧

【典例例题】

题型一：零点问题之一个零点

例1．已知，函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围．

【解析】

（1）由题可知：，

令．

当，，

此时，在，单调递增，在单调递减；

当时，恒成立，所以在上单调递增．

当，，

此时，在上单调递增，在单调递减．

综上，当时，的增区间为，的减区间为；

当时，在上单调递增；

当时，的增区间为，的减区间为．

（2）由题可得：

（a）；

由（1）可得：

当时，，所以仅在有一个零点，满足要求；

当时，仅有一个零点，满足要求；

当时，，又在上仅有一个零点，则（a），即，

综上，若在上仅有一个零点，则的取值范围时．

例2．已知函数．

（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；

（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．

【解析】

（1），

是函数的一个极值点，则．

，．

，

当时，恒成立，在上单调递减．

当时，．

在，上单调递减，在递增．

综上，当时，在上单调递减．

当时，在，上单调递减，在递增．

（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，

令，，令，可得或．

时，，时，，时，

在递增，在，递减，

且时，，时，

或．

，或

所以，的取值范围，．

例3．已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．

①，；

②，．

【解析】

（Ⅰ），，

①当时，当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

②当时，令，可得或，

当时，

当或时，，当时，，

在，，上单调递增，在，上单调递减，

时，

且等号不恒成立，在上单调递增，

当时，

当或时，，当时，，

在，，上单调递增，在，上单调递减．

综上所述：

当时，在上单调递减；在上单调递增；

当时，在，和上单调递增；在，上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和，上单调递增；在，上单调递减．

（Ⅱ）证明：若选①，由（Ⅰ）知，在上单调递增，，单调递减，，上单调递增．

注意到．

在上有一个零点；

，

由得，，

，当时，，此时无零点．

综上：在上仅有一个零点．

另解：当，时，有，，

而，于是

，

所以在没有零点，当时，，

于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．

若选②，则由（Ⅰ）知：在，上单调递增，

在，上单调递减，在上单调递增．

，

，，，，

当时，，此时无零点．

当时，单调递增，注意到，

取，，，又易证，

，

在上有唯一零点，即在上有唯一零点．

综上：在上有唯一零点．

题型二：零点问题之二个零点

例4．已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

【解析】

（1）由，

可得，

①当时，由，可得；由，可得，

即有在递减；在递增；

②当时，由，解得或，

若，则恒成立，即有在上递增；

若时，由，可得或；

由，可得；

即有在，，递增，

在，递减；

若，由，可得或；

由，可得

即有在，，递增；在，递减；

综上：当时，在递减；在递增；

当时，时，在上递增；

时，在，，递增，在，递减；

时，在，，递增；在，递减．

（2）①由（1）可得，当时，在递减；在递增，

且（1），（2），故在上存在1个零点，

取满足，且，

则（b），

故在是也存在1个零点，

故时，有2个零点；

②当时，，所以只有一个零点，不合题意；

③当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；

若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，

当时，在单调增，在，递减，在，递增，

极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；

综上，有两个零点时，的取值范围为．

例5．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

【解析】

（1）的定义域为，且，

当时，，此时在上单调递增；

当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，则，

当时