数学优化训练：向量数量积的物理背景与定义.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2.3平面向量的数量积

2。3。1向量数量积的物理背景与定义

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1.力使一个物体产生的位移为H,F与H的夹角为α，那么力F所做的功可表示为（)

A.|F||H|sinαB.｜F|｜H｜cosα

C。｜F｜｜H|tanαD。|F|｜H|cotα

解析:由功的物理意义.

答案：B

2。以下命题中，不与“非零向量a、b夹角为钝角”等价的是（）

A。非零向量a在非零向量b上的正射影为负值

B。非零向量a、b的内积为负值

C.非零向量a、b的长度皆小于a—b的长度

D。非零向量a、b的平方和大于a+b的平方

解析：由三角形法则知a、b、a—b恰构成一个三角形，

令|a｜＜｜b|＜｜a-b|,且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.

答案：D

3。已知｜p｜=2,|q｜=3，且p与q的夹角为120°，则向量p在q方向上的正射影值为_____________；向量q在p方向上的正射影值为_____________.

解析：向量p在q方向上的正射影值为|p｜sθ=2×cos120°=-1。

同理,｜q｜cosθ=3×cos120°=.

答案：—1

4.已知｜a|=10，｜b｜=12，且（3a)·（b）=-36，则a与b的夹角为____________。

解析：（3a)·(b）=3｜a||b｜cosa，b〉

=3×10××12cosa，b〉=—36,∴cos〈a，b〉=。

∵cos〈a，b〉∈［0°，180°].

∴cos〈a,b〉=120°。

答案:120°

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.下列命题正确的是()

A。若｜a｜=｜b｜，则a=b

B.若a、b为非零向量，则|a—b｜＜｜a+b|

C.若x、y满足|x+y|=｜x|+｜y|，则x·y=|x||y｜

D。若x、y为非零向量,则x与y同向的条件是存在实数k，使得x=ky

解析：对于A，显然不成立；对于B，

｜a—b｜＜｜a+b|｜a-b|2＜|a+b｜2（a-b)2＜(a+b)2a2+b2—2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立；

对于C，｜x+y｜=|x|+|y||x+y|2=（｜x|+|y|)2（x+y）2=|x|2+|y｜2+2|x|｜y｜x2+y2+2x·y=

x2+y2+2｜x｜|y|x·y=|x|｜y｜，所以该命题正确;对于D,当且仅当k为正实数时才能成立.

答案：C

2。已知a、b都是单位向量，则下列结论中正确的是（）

A。a·b=1B。a2=b2

C.a∥ba=bD.a·b=0

解析：单位向量是指模长为1的向量,对方向没有要求，因此夹角也无从得知，故A、C、D不正确，而|a｜=，故B正确。

答案：B

3.在△ABC中，=a,=b,且a·b＞0，则△ABC为三角形.（）

A.锐角B。直角C.钝角D。等腰直角

解析：∵·＞0，∴·＜0，即∠ABC为钝角。

答案：C

4.若｜a|=3,|b|=4，a,b的夹角为135°，则a·b等于（）

A。B.C。D。12

解析：∵a·b=|a||b|cos135°=3×4×（）=。

答案：B

5。若|a｜=2，b=—2a，则a·b=______________

解析：｜b｜=2|a｜=4，且b与a反向,∴a，b〉=180°.∴a·b=｜a||b｜cos180°=2×4×(-1)=-8。

答案:-8

6。已知|a|=4,｜b|=5，当①a∥b；②a⊥b；③〈a，b〉=120°时，分别求a与b的数量积。

解：①a∥b，则a与b同向时，〈a,b〉=0°，此时a·b=｜a|｜b|cos0°=4×5=20.

a与b反向时,〈a，b〉=180°，此时a·b=｜a||b｜cos180°=4×5×（—1)=-20。

②a⊥b时,a·b=0。

③〈a，b=120°,则a·b=|a|｜b｜s〈a,b〉=4×5×（)=—10。

30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1。对任意向量x和y，|x｜｜y｜与x·y的大小关系是（）

A。|x｜|y|≤x·y