第2讲 基本初等函数(幂指对)（知识点串讲）（解析版）.docx

第2讲基本初等函数(幂指对)

一、[体系构建]

二、[知识点总览]

1．有理数指数幂

(1)幂的有关概念：

①正分数指数幂：eqa\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)．

②负分数指数幂：eqa\s\up5(-\f(m,n))＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)．

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理数指数幂的性质：

①aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，0y1；

当x0时，y1

在R上是增函数

在R上是减函数

注：①指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1.

②指数函数图象在坐标系中的位置如下图所示，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

例1、(2019·山东聊城月考)设a＝0.70.6，b＝0.70.7，c＝log0.70.6，则a，b，c的大小关系依次从小到大排序为________.

【答案】b＜a＜c[∵函数y＝0.7x在R上单调递减，且0.6＜0.7，∴b＜a＜1，c＝log0.70.6＞log0.70.7＝1，∴b＜a＜c．]

[跟踪训练]

1、(2018·济南外国语学校期中)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()

A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【答案】C[由题意可知1＞a＝0.60.6＞b＝0.61.5，c＝1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．]

例2、(2019·山东临沂摸底)若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________.

【答案】(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))[由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，得－eq\r(2)＜a＜－1或1＜a＜eq\r(2).]

[跟踪训练]

2、当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是_________.

【答案】(－1，2)[原不等式变形为m2－m＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，

∵函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(－∞，－1]上是减函数，

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2，

当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.]

3．对数

概念

如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式

性质

对数式与指数式的互化：ax＝N?x＝logaN

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N

运算

法则

loga(M·N)＝logaM＋logaN

a0，

且a≠1，

M0，

N0

logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM(n∈R)

换底

公式

换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1，c0，且c≠1，b0)

4．对数函数的图象与性质

y＝logax

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

(0，＋∞)

值域

R

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当0x1时，y∈(－∞，0)；当x1时，y∈(0，＋∞)

当0x1时，y∈(0，＋∞)；当x1时，y∈(－∞，0)

在(0，＋∞)上为增函数

在(0，＋∞)上为减函数

注：1．换底公式的两个重要结论

(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logaB．

其中a0且a≠1，b0且b≠1，m，n∈R.

2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1aB．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

5．反函数

指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．