第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题（解析版）.docx

第2讲空间几何体运动轨迹与长度问题

一、单选题

1．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）高为3，长宽为的长方体中，以为球心的球两两相切，过点作球的切线交球于点在长方体外部，则点的轨迹长度是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设球的半径分别为，

则，，，

解得，

过点作球的切线交球于点，则点的轨迹为球的小圆，其中圆心为，

则在线段上，

如图所示，⊥，，由勾股定理得，

为等腰直角三角形，故，

由于在长方体外部，

故点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，位于长方体外部的圆弧部分，

其中位于长方体外部的部分占到整个圆的，

故轨迹长度为.

故选：C

2．（2024上·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中不正确的有（???）

??

①当点P为BC中点时，平面平面

②异面直线、所成角的余弦值为

③点E、F、G、M、N在同一个球面上

④若，则P点轨迹长度为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】取中点，连接，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E?F?G?M?N均为所在棱的中点，

易知，平面，GM在面ABCD内，

，平面，平面，，

平面面，

连接，是正方形,，

平面，平面，，

平面，平面，，

平面平面，

综上，平面，平面，又

所以平面，平面故平面平面，故①正确；

取中点，连接，

是异面直线所成的角，

又则，故②错误；

记正方体的中心为点，则，

故点在以为球心，以为半径的球面上，故③正确；

是的中点，

，故

点轨迹是过点与平行的线段，且，

，故④正确.

故选：B.

3．（2024上·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以所在的平面建立平面直角坐标系，为x轴，垂直平分线为y轴，

则易知，

设，由，可得，

故M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

转化到空间M的轨迹为以C为球心，为半径的球，同时M在球O上，

故M在两球的交线上，轨迹为圆.

又，，易求得，即为直角三角形，

则对应圆的半径为，

M的轨迹长度即对应圆的周长为.

故选：B．

4．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设E为，的交点，所以．

又平面，平面，所以．

又，平面，所以平面．

因为点平面，故平面，

所以，所以，

因为正方体的棱长为4，所以，即，

在平面内建立平面直角坐标系，如图，

则．

设，则，

，

所以．

又，故，即，

整理得，即，

故点M的轨迹是半径为的圆，

所以点M的轨迹长度为．

故选：C．

5．（2023上·北京海淀·高三中关村中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为，是正方体表面上一动点，且，记点形成的轨迹为，给出下列四个命题：

①、，；???

②、，；

③的长度是；???????????

④的长度是

其中真命题的个数是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】是正方体的棱的中垂面与四个侧面的交线，

它是一个边长为的正方形，它的周长是，且、，，所以①③正确；??

在正方体两侧面、和上底面都是一段圆弧，

它与其它三个面无公共点.将正方体两侧面和沿展开为平面图，

建立平面直角坐标系如图，

设动点，因为，

所以，化简得，

故动点P在两侧面内轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，

因为，所以，所以，

所以在两侧面内点轨迹长度为.

在上底面内，动点P轨迹为以为圆心的一段圆弧，

如上图，由，可知，故，

又，所以，

即圆弧所在圆的半径为，所以圆弧的长为，

所以动点P形成的轨迹的长度为，

且不存在这样的点、，使，所以④正确，②错误.

故选：D.

6．（2023上·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知正方体的内切球半径为1，、平面，若，，现在有以下四个命题：

：点的轨迹是一个圆????????????????????：点的轨迹是一个圆

：三棱锥的体积为定值????????????：

则下述结论正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图建立以为原点的空间直角坐标系，

因正方体的内切球半径为1，则正方体棱长为2.

则，设.

对于p，，

则点的轨迹是一个以为圆心，半径为1的圆，故正确；

对于q，由，则，

又，，

则，

即F在直线上，故点的轨迹是一条直线，故q错误；

对于r，注意到，面，面，则面，

又F在直线上，则点到平面距离为定值，

则为定值，故r正确；

对于s，由以上分析可知，即为圆外一直线到圆上点距离，

当圆心，圆上一点，直线上点三点共线,且圆上一点，直线上点在圆