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绝密★启用前

2021学年第一学期期中考试终极模拟

高等数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（36分）

（一）现代文阅读I（本题共3小题，9分）

阅读下面的文字，完成1~3题。

数学的发展勾股

数学的发展一直以来都是严格化、公理化与抽象化的过程。数学容得下质疑，数学家们也

有解决质疑或修补漏洞的决心、意志与智慧，纵使这项工程是浩大的、横跨世纪的。

主张万物皆数的毕达哥拉斯学派，认为数是在世界诞生之前所诞生的，是独立于世界、高

于世界一切的存在；数支配着世界万物运转，没有任何事物是不被数所管辖的。也就是说，毕

达哥拉斯学派的主张是不容许无理数这种不可理喻的事物存在的。讽刺的是，而正是其学派下

的希帕索斯用毕达哥斯拉定理，也就是使得毕达哥拉斯学派所闻名的成果推翻了这一主张。而

毕达哥拉斯学派却背叛了数学，背叛了真理，将可怜的希帕索斯丢到了爱琴海。而这一发现，

使得人类不得不去审视原有数学体系的完备性，于是有了第一次数域扩充。而这段故事与工程，

被后人称为“第一次数学危机”。数学危机这一说法的诞生，代表着人类愿意去付诸大量的时

间去把原有的数学体系推倒重建，这是对真理的重视，也是进步的象征。

而随着17世纪分析学的迅猛发展，牛顿与莱布尼兹分别在前人的基础上，将无穷小量、

无穷大量、极限、微分和积分等概念整理、公理化、严格化、抽象化与符号化，同时独立创立

了微分学与积分学，也就是微积分。微积分的诞生是分析学的重大突破，也是近现代数学的理

论根基，同时在其它自然科学上也是一重大突破，例如微积分这一前所未有的工具可以用来描

述物理上瞬时速度的概念。

但同时，微积分诞生之初并不完美，例如牛顿在对无穷小量定义的含糊不清：在计算2的

导函数时，展开分子整理后得到即为Δ(Δ+2)；此时认为无穷小量不是零，可以与分子

的Δ相约得到2+Δ；而此时又认为Δ趋于零，也就当作零直接将Δ去掉了，得到2的

导函数为2。在牛顿的体系中，无穷小量被认为了是种似零非零的东西，这在数学上是绝对不

能容忍的，数学必须是严谨的。所以英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是

消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”

他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正

确的结果”。这说明贝克菜抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题。

而直到19世纪才对此有初步的解释，直到魏尔斯特拉斯等人通过−严格化了极限定义

才得以完美解决第二次数学危机。

而前两次的数学危机的发生，使得数学家们更加的在乎数学工具的严谨与完备。于是需要

一套基础的数学工具去刻画现有的一切数学，也就是说数学们需要一门专用的数学语言。于是

集合论就在这样的背景下被孕育出来了，由此来精确刻画，以及符号化公理化现有的数学体系。

然而在19世纪末发现集合论有不完备之处，即根据集合论的公理可以构造出自相矛盾的悖论

集合，其中最为著名的便是罗素悖论。而这就被称为第三次数学危机，第三次数学危机是十分

深刻的，它不同以往的两次数学危机，因集合论是数学的基础理论之一，所以它是于整个数学

体系紧密相连的；好比于数学得了淋巴癌，淋巴遍布人体全身，若是癌变，那么切除是无用的

因为它无处不在；也不能去大刀阔斧的治疗，因为它十分深入；也就是说完美的解决办法既要

保留集合论的基本格调保障其不会牵连其他数学领域的改革，还要彻底的根本的消除这一矛

盾。所以这可以说是数学上最大的危机，因为基础数学往往更加深刻。所以至今为止第三次数

学危机任然没有一个完美的解决方案，目前最好的方法是通过公理化的方式，但这只在一定程

度上解决了问题。

（有删改）

1.下面有关第一次数学危机的描述，与