专题1.4 基本不等式及其应用（模拟+真题）（精练）解析版.docx

专题1.4基本不等式及其应用

一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别求出运用交集定义求出即可.

【详解】，，则

故选:C.

2．（2024·四川南充·模拟预测）设,,且,则下列结论正确的个数为（???）

①????②????③????④

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】①②直接使用基本不等式,结合对数指数运算,即可判断；③构造函数,利用导数研究其单调性和值域,将转化为,即可判断；④构造函数,利用导数研究其最大值,结合适度放缩,即可判断.

【详解】因为,故可得,当且仅当取得等号；

①，错误；

②,当且仅当时取得等号，正确；

③令,,

故在单调递增,,即当,；

,又,即,解得,故；

故,也即，正确；

④令,则,

故当时,,单调递增；当时,,单调递减；

故的最大值为；由C可知,,则，正确；

故选：C.

3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（????）

A．4 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】因为，，且，

所以，

当且仅当，即，时取等号.

故选：D

4．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围.

【详解】因为，，则，所以．

又，

即，即，解得，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

即的取值范围为.

故选：D．

5．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值.

【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立，

因为，

所以，在等式两边同时乘以，可得：

，

即，解得.

当且仅当时，即当时，取得最大值8.

故选：D.

6．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D.

【详解】对于A，由，可得，故A错误；

对于B，由，，，可得，故B错误；

对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误；

对于D，因为，当且仅当时，等号成立，

即，故D正确.

故选：D.

7．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值.

【详解】，

，

设，

则，

，

当，即，时等号成立，

所以的最大值为.

故选：D

8．（2024·河北唐山·二模）已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由长方体的体积求出，再由基本不等式可求出，再由球的表面积公式计算得到答案.

【详解】设长方体的长、宽、高分别为，

所以长方体的体积为，解得：，

设长方体的外接球的半径为，

所以，即，

即，当且仅当时取等，

所以，

所以其外接球表面积的最小值为.

故选：C.

9．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解.

【详解】因为正实数x，y满足，则，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：A.

10．（2024·辽宁·三模）已知正实数a，b，则“”是“”的（????）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可.

【详解】取，满足，但，

故“”推不出“”，

因为，当且仅当“”时取等，

当时，，

所以，即，因为，

所以，所以能推出.

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

11．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】A选项，根据的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式，即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决.

【详解】因为，所以，

对于A项：，

当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误；

对于B项：因为，所以，

，当时取得等号，此时，故B错误；

对于C项：因为，所以，所以，

于是等价于，等价于，

构造函数，，

所以在上单调递增；

所