专题2.4 指数与指数函数（五大重难点题型,精讲）解析版.docx

专题2.4指数与指数函数

目录

一、考纲要求

1.了解指数函数模型的实际背景；

2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)的指数函数的图象；

4.体会指数函数是一类重要的函数模型。

5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

二、考点网络

三、考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

2022年甲卷第12题，5分

2020年新高考II卷第11题，5分

从近五年的高考情况来看,指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点,常与二次函数、幂函数、对数函数、三角函数综合,考查数值大小的比较和函数方程问题.

四、考点梳理

【基础知识梳理】

考点一根式

(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.))

考点二分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.

考点三指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

【知识拓展】

1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).

2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象越高，底数越大.

重难点题型(一)指数运算及指数方程、指数不等式

例1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知集合，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式确定集合，再求交集.

【详解】根据题意，

又在上单调递增，由，得，

所以，则．

故选：B

例2．（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，

令，

则，

所以为奇函数，且在单调递增，如图所示，

因为，

所以不妨设，

设点，

则的直线方程为，

如图，因为，

所以两式相加得，

又因为，

所以，

所以，

即.

故选：D.

例3．（2024·江苏南通·三模）（多选题）已知，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D.

【详解】对A，由图可知：与交点，

与的交点，

根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称，

故，，故A正确；

对B，由A知，故B错误；

对C，由知，则，设，，

则，则当时，fx0，此时单调递减；

当x∈0,+∞时，f

则，则恒成立，即，当时取等；

令，则有，因为，则，即，故C错误；

对D，设，x∈0,+∞，则

则当x∈0,1时，f

当x∈1,+∞时，f

则，即在0,+∞上恒成立，

即在0,+∞上恒成立，当时取等，

令，则，即，因为，则，则，

故，故D正确.

故选：AD.

??

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD选项的关键在于两个不等式和的运用.

【变式训练1】．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震