苏科版数学九上期末培优训练专题05 函数动点最值之线段与面积（解析版）.doc

专题05函数动点最值之线段与面积

典例分析：

典例分析：

典例1如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D

典例1

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．

解题思路：：（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；

（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1）（点），表示PE的长（线），根据三角形面积公式可得△APD的面积(式)，配方后可得结论．

答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，

∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，

∴x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：

a?2+c=0c=3

解得：a=?1c=3

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，

解得：x1＝﹣1，x2＝4，

∴D（4，﹣5），

过点P作PE∥y轴，交AD于E，

设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），

∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，

∴△PAD的面积=12?PE?（4+1）=52（﹣t2+3t+4）=?52（

当t=52时，△PAD的面积最大，且最大值是

典例2如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A

典例2

（1）求二次函数和一次函数的解析式；

（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．

解题思路：（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y=12x+1，则易得B（

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，12x2?12x﹣3），Q（x，12x+1），（点）则PQ=12x+1﹣（12x2?12x﹣3），（线）把解析式配成顶点式得到PQ=?12

答案详解：解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：

4k+1＝3，

解得：k=1

∴一次函数解析式为y=12

当y＝0时，12x

解得x＝﹣2，

则B（﹣2，0），

把B（﹣2，0），A（4，3）代入y=12x2+bx+

2?2?2b+c=0

解得：b=?

∴抛物线解析式为y=12x2?1

（2）设P（x，12x2?12x﹣3），则Q（x，

∴PQ=12x+1﹣（12x2?

=?12x2+

=?12（x﹣1）2

∴当x＝1时，PQ最大，最大值为92

实战训练

实战训练

一．线段最值之纵差法

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．

（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+3．

（2）求抛物线所对应的函数解析式．

（3）①顶点D的坐标为（1，4）；

②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为﹣5．

（4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．

试题分析：（1）用待定系数法求函数解析式即可；

（2）把B（3，0），和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数解析式；

（3）①由y＝﹣（x﹣1）2+4，即可求顶点坐标；

②当x＝1时，函数有最大值4，当x＝4时，函数有最小值﹣5；

（4）设点M（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），可得MN=?(t?3

答案详解：解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+m，

∴3k+m=0m=3

∴k=?

∴y＝﹣x+3，

所以答案是：y＝﹣x+3；

（2）把B（3，0），和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，

得?9+3b+c=0

解得b=2c=3

∴y＝﹣x2+2x+3；

（3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D（1，4），

所以答案是：（1，4）；

②∵函数的对称轴为直线x＝1，

∴当x＝1时，函数有最大值4，

∵0≤x≤4，

∴当x＝4时，函数有最小值﹣5，

所以答案是：4，﹣5；

（4）设点M（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），

∴MN＝﹣t2+3t=?

∴线段MN的最大值是94

2．如图，直线y=?23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=?43x2+bx+

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为线段