《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之二(10).docx

1-

《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之二(10)

上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112

何世強HoSaiKeung

提要：以下諸題源自《測圓海鏡?卷六》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑之問題。本文之問在“圓城圖式”中，已知大勾及另一條件，求圓徑。

關鍵詞：地乾大勾相直

以下之問取材自《測圓海鏡?卷六》之大勾一十八問。

筆者已有文章談及已知大勾而求圓徑之題名為〈《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之一(9)〉，本文乃上文之延續。

以下為圓城之一般圖﹝本文各題皆用此圖﹞：

朱

朱

《測圓海鏡》諸問皆涉及“圓城圖式”。《測圓海鏡》提供“圓城”兩個條件，計算圓城之半徑。地乾乃為大勾，大勾共一十八問。〈第一問〉至〈第四問〉見前文。注意各題所問及已知之條件。

〈第五問〉

或問：乙從西南隅直東行一百九十二步，甲從西北隅直東行三百二十步望見乙，問：圓徑幾何？

解：

南 B

已知：

QH=192

DC=320 K P

H 乙

東 G Q 西

R F

A

C M E D甲

今將圖之重要部分放大如下：

H P 乙Q

DC=320 K O

設半徑FO=r R F

A

QH=192

C

N M E ← D甲

於《測圓海鏡》諸問中，此題之算法較簡單直接。

題意指乙從西南隅Q直東行192步至H，甲從西北隅D直東行320步至C，望見乙，即CKH成一直線，求圓徑。

西南隅指Q點。今設圓徑為r。從上圖可知ΔPHO與ΔEOC相似，所以對應邊成比例，PHPO=OE

192-rr=

r2=61440–192r–320r+r2

512r=61440

r=120﹝步﹞。

答城半徑為一百二十步，倍之即城徑。即城徑為240步。

《測圓海鏡》算法曰：

法曰：二行步相乘為實，即192×320=61440乃為被除數。

二行相併為法，即192+320=512乃為除數。

兩數相除後得半徑120﹝步﹞。

草曰：立天元一r為半徑，副置之上，以減於乙東行得192–r，為梯頭於上，下位減於甲東行得320–r為梯底，以乘上位得

(192–r)(320–r)=61440–192r–320r+r2

為半徑冪，寄左，然後以天元冪r2與左相消得：

61440–192r–320r+r2=r2

512r=61440

r=120﹝步﹞。

上法下實，即半徑也，合問。

“上法下實”指籌算式除數﹝法﹞置上，被除數﹝實﹞置下。以上算法可參閱筆者之算法。

〈第六問〉

或問：乙從坤隅直南行三百六十步而止，甲從乾隅直東行三百二十步，望見乙。問答同前。

解：

南 B

已知

QB=360

設DC=320 K P

H

東 G 乙Q 西

R F

A

C M E D甲

題意指乙從坤隅Q直南行三百六十步至B而止，甲從乾隅D直東行三百二十步至C，望見乙，即CGB成一直線，求圓徑。以下為其解：

在大三角形BDC中，依勾股定理可知BD2+DC2=CB2，圓半徑依舊為r，即：

BD=360+2r，DC=320及CB=BG+CG=360+r+320–r，可得下式：

(360+2r)2+3202=(360+r+320–r)2

(360+2r)2+3202=6802

(360+2r)2=360000=6002

360+2r=600﹝左右開方，《測圓海鏡》不用此法﹞

2r=240

r=120。

所以圓半徑為120﹝步﹞。即城徑為240步。

以下為未之數之轉換，若2r=d，則(360+2r)2=360000可寫成

(360+d)2=360000

129600+d2+720d=360000

d2+720d–230400=0，分解因式得：

(d–240)(d+960)=0。

取d=240為圓徑。

《測圓海鏡》算法曰：

法曰：二行步相乗，倍之為實，即2×320×360=230400為方程式之常數。

二之甲東行﹝應作乙南行﹞為從，2×360=720，即含d項之係數。

一步常法，即含d2項之係數為1。

故所形成之方程式為：d2+720d–230400=0。此式與上相同。

解之得城徑﹝見上文之算法﹞。

草曰：立天元一d以為城徑，加一南行得360+d為股，二行步相併得六百八十步為弦(360+