2025届高三数学一轮专题复习：圆锥曲线的方程（11）讲义（含答案）.docx

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一

知识点一根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的定值问题

典例1、已知椭圆：，，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．

随堂练习：已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线l与椭圆C

交于不同的两点M，N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求证：为定值

典例2、已知椭圆的焦距为，且过点

（1）求椭圆的方程；（2）若点是椭圆的上顶点，点在以为直径的圆上，延长交椭圆于点，的最大值.

随堂练习：如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且

斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．

（1）求点P的坐标并确定当为常数时的值；（2）求取最大值时直线l的方程．

典例3、已知椭圆，过点．

（1）求C的方程；

（2）若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

随堂练习：已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，

且.

（1）求椭圆的方程；

（2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线

过定点.

知识点二过圆上一点的圆的切线方程,根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆中的最值问题

典例4、已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交

于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．

（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．

随堂练习：已知椭圆经过两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点（异于点），求的最大值.

典例5、已知椭圆的离心率为，左顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，过点A的直线与椭圆交于点，若，且（为原点），求的值.

随堂练习：已知椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且、、成等比数列，求的值.

典例6、已知椭圆：的左?右焦点分别为?，焦距为2，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于，两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率.

随堂练习：已知椭圆：经过点且离心率为，，是椭圆的两个焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值．

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一答案

典例1、答案：（1）（2）证明见解析

解：（1）由题意得，故椭圆为，

又点在上，所以，得，，

故椭圆的方程即为；

（2）由已知直线过，设的方程为，

联立两个方程得，消去得：，

得，

设，，则，（*），

因为，故，

将（*）代入上式，可得：，

∴直线与斜率之积为定值．

随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析

解：（1）由题意椭圆经过点，离心率为，

可得，解得，故椭圆C的方程为

（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，

由，可得，

由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，

则，解得，

设,则，

，

故

，即为定值.

典例2、答案：（1）；（2）.

解：（1）根据题意，椭圆的焦距为，且过点，可知，，则，

，，所以椭圆的方程为；

（2）可得，，则，则以为直径的圆，圆心为，半径为，

以为直径的圆方程为，即：，

点，由于延长交椭圆于点，则点在直线上，

可知直线的斜率存在，且，则设直线的方程为，设，

联立直线和圆的方程，得，解得：，

可得，

联立直线和椭圆的方程，得，解得：，

可得，则，

可知，设上式为，即有，，

，即为，解得：，则的最大值为.

随堂练习：答案：（1），（2）

解：（1）由得．设直线l的方程为．

由得，由韦达定理得．

又，同理可得，

则

所以当时，为常数．

（2）由（1）知，．

设直线的方程分别为．

由得，

由韦达定理得，解得，

代入直线的方程得，同理可得．

又由（1）知，，得．

所以

．

所以，令，

则，当且仅当时，等号成立，

此时直线l的方程为．

典例3、答案：（1）（2）直线过定点

解：（1）由题意，，解得，所以椭圆C的标准方程为．

因为，两边平方，化简整理得，

易知直线l的斜率存在，设其方程为，其中．

由，得，

，

设，则，

所以

，

所以，

即，

因为，所以，

所以，

得，解得，满足，

所以直线l的方程为：，即直线过定点

随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析

解：（1）因为为