4.1.2数列的递推公式和前n项和课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

数列单调性的判断数列是一类特殊的函数,因此研究数列的单调性问题可借助函数的方法,(1)作差法:根据an+1-an与0的大小关系进行判断.(2)作商法:根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断.

【变式1】已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn,且数列{an}为递增数列,求实数λ的取值范围.法一：结合图象法二：证明单调性（作差与0比）

法一：单调性（作商和1比）法二：项的关系（列不等式）

4.1.2数列的递推公式与前n项和

【探究】图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,猜想这个数列的一个通项公式.不完全归纳数学归纳法严格证明【思考】an与an-1(n≥2)是否有关系？an=3an-1(n≥2)递推公式：体现一个数列的相邻两项或多项之间的关系

【例1】已知数列{an}的首项为a1=1,递推公式为这个数列的前3项是？???总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.（迭代思想）通项公式与递推公式的区别：通项公式：项与序号的关系递推公式：项与项的关系【追问】若不知道数列的首项，仅知道递推公式，能否求出数列的每一项？【追问】若知道的是通项公式，能否求出数列的每一项？【追问】所有的数列都有递推公式吗？

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题型1.数列的周期性?A??0

题型2.根据数列的递推公式求通项公式总结：一般递推关系为an+1=f(n)·an,即时，可用累乘法求通项公式.??

题型2.根据数列的递推公式求通项公式?

题型2.根据数列的递推公式求通项公式【例3】已知数列{an}满足a1=1，an=an－1＋1(n≥2)，写出这个数列的通项公式.总结：一般递推关系为an+1=f(n)+an，即an+1-an=f(n)时，可用累加法求通项公式.?

题型2.根据数列的递推公式求通项公式【例3】已知数列{an}满足a1=1，an=an－1＋1(n≥2)，写出这个数列的通项公式.解：由递推式可得，a2－a1=1，a3－a2=1，…an－an－1=1(n≥2)把以上n-1个式子相加,得an－a1=n－1∴数列的通项为an=n(n∈N*).总结：一般递推关系为an+1=f(n)+an，即an+1-an=f(n)时，可用累加法求通项公式.又a1=1∴an=n(n≥2).当n=1时，a1=1?

题型2.根据数列的递推公式求通项公式?

总结：根据数列的递推公式求通项公式方法：???

数列的前n项和我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.【思考】数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？?

【例4】已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2+2n，求{an}的通项公式.题型3.根据数列的前n项和公式求通项公式???

【变式1】已知数列{an}的前n项和公式Sn，求数列{an}的通项公式.（1）Sn=n2+n＋1，（2）Sn=log2(n＋1)（3）Sn=(－1)n＋2n

总结：已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为??

∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，能力提升

解析∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，