清单09 三角函数（考点清单 知识导图 8个考点清单 23题型解读 变式训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点（苏教版2019必修第一册）（原卷版）.docx

清单09三角函数（8个考点梳理+23题型解读+变式训练）

【清单01】弧度制

（1）弧度的概念

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么．

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

（2）弧度与角度的换算

（3）关于扇形的几个公式

设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有

=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．

【清单02】三角函数的概念

（1）三角函数的定义

一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；

把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数，；

余弦函数，；

正切函数，（）．

设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．

可以证明：；；．

（2）几个特殊角的三角函数值

，，，的三角函数值如下表所示：

函数

不存在

不存在

（3）三角函数值的符号

（4）诱导公式（一）

终边相同的角的同一三角函数值相等．

，

，

，

其中．

【清单03】同角三角函数间的基本关系

（1）平方关系

．

（2）商数关系

．

作用：

（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；

（2）化简三角函数式；

（3）证明三角函数恒等式．

【清单04】诱导公式

（1）公式二

，

，

．

（2）公式三

，

，

．

（3）公式四

，

，

．

小结：

（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．

（2）利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

（4）公式五

，

．

（5）公式六

，

．

小结：

，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．

【清单05】正弦函数、余弦函数的图象

（1）正弦函数的图象．

=1\*GB3①画点

在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．

=2\*GB3②画（）的图象

把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象．

=3\*GB3③（）的图象

由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）．

正弦函数的图象叫做正弦曲线．

=4\*GB3④五点作图法

在函数，的图象上，有以下五个关键点：

，，，，．

画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”．

（2）余弦函数的图象

因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象．

余弦函数，的图象叫做余弦曲线．

余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，．

【清单06】正弦函数、余弦函数的性质

（1）周期性

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有

，

那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期．

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．

正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．

余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．

（2）奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

（3）单调性

正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．

余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．

（4）最大值与最小值

正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．

余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．

【清单07】正切函数的图象与性质

正切函数的图象叫做正切曲线．

正切函数的性质

（1）定义域

正切函数的定义域为

（2）周期性

正切函数是周期函数，最小正周期是．

（3）奇偶性

正切函数是奇函数．

（4）单调性

正切函数在每一个开区间（）上都单调递增．

（5）值域

正切函数的值域是实数集．

【清单08】由