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L2(RN)中的Fourier变换

邱炳钦;刘祥清

【摘要】首先介绍了速降函数空间上Fourier变换的定义及性质,然后由速降函数

空间L2(RN)中的稠密性将Fourier变换扩张到L2(RN)上.

【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2016(036)006

【总页数】4页(P17-20)

【关键词】Fourier变换;速降函数空间;L2(RN)

【作者】邱炳钦;刘祥清

【作者单位】云南师范大学数学学院,云南昆明650500;云南师范大学数学学院,云

南昆明650500

【正文语种】中文

【中图分类】O177.91

分数阶微分方程在金融、量子力学、燃烧、机械系统等学科中都有广泛的应用[1-

3].实指数Sobolev空间Wm,2(RN)常作为分数阶微分方程的研究空间，而L2(RN)

中的Fourier变换是研究实指数Sobolev空间的重要工具.为更好理解L2(RN)中的

Fourier变换，首先介绍速降函数空间上Fourier变换的定义及一些必要的引理.

定义1.1设u是RN上的可测函数，且|u(x)|2在RN上是可积的，这种函数u的

全体记作L2(RN).对任意的u、v∈L2(RN)，规定其内积为

记‖·‖L2(RN)为上述内积诱导的范数，容易验证L2(RN)是Hilbert空间.

定义1.2定义带有紧支集的无穷次可微空间

其中.

定义1.3称函数集

为速降函数集，其中.

定义1.4对u∈L1(RN)，称函数

为u的Fourier变换，其中.

定理1.1(1)定义在Φ上的Fourier变换可扩张为L2(RN)到L2(RN)上的Fourier

变换，且反演公式和Parseval等式成立；

(2)当u∈L2(RN)∩L1(RN)时，由(1)定义的L2(RN)中的Fourier变换跟L1(RN)中

定义的是一致的.

主要结果的证明将要用到以下这些引理，引理的证明可参考文献[1].

引理2.1Fourier变换对速降函数空间封闭，即若u∈Φ，则∈Φ.

引理2.2(反演公式)若u∈Φ，则u(x)(ξ)eix·ξdξ.

引理2.3对任意u、v∈Φ，有

引理2.4对任意u、v∈Φ，有Parseval等式

引理2.5Φ在L2(RN)中是稠密的.

证明(1)记速降函数集为Φ，任取u∈L2(RN)，由Φ在L2(RN)中的稠密性知，存

在{uk}⊂Φ，使得‖uk-u‖L2(RN)→0

(k→)，由Φ上的Parseval等式有

于是是L2(RN)中的Cauchy列.由L2(RN)的完备性可知，存在，使得

在(1)中令u=uk，有

令k→，有

从而是唯一的.

事实上，若存在满足

则

又由Φ在L2(RN)中稠密可知，存在{wk}⊂Φ，使得‖‖L2(RN)→0

(k→).

从而

即

于是可以定义L2(RN)上的Fourier变换

L2(RN)，u

再由Φ上的Parseval等式知

故Parseval等式在L2(RN)上也成立.类似可证反演公式在下述意义下成立

其中两次Fourier变换都是在L2(RN)意义下取的，由定义.

此外，L2(RN)中的Fourier变换是映上的.因任给v∈L2(RN)，令，由反演公式，

必有v.

(2)证法一：先证(3)式对u∈L1(RN)也成立.

若，则

由(RN)在L1(RN)中的稠密性知，Φ在L1(RN)中稠密.从而存在{uk}⊂Φ，使得

由(4)式有

在L(RN)中

由于

(k→)

从而

此外，假设分别为L1(RN)及L2(RN)中定义的u的Fourier变换.由于与都满足(3)

式.于是

即1∈L2∈L2(RN)代表不同的空间，上式对(RN)成立.设球B⊂RN，取，这样(B).

由于在L2(B)中稠密，取

存在{wk}⊂(B)，使得

且

故在B上有.最后，令球B的半径趋于，即证.

证法二：假设分别为L1(RN)及L2(RN)中定义的u的Fourier变换.令

其中φ(x)为正则化子.

当ε→0时，有

取

当Rε充分大时，

‖vε-vεψε‖L1=∫|x|Rε|vε-vεψε|dx=∫|x|Rε|vε(1-ψε)|dx≤∫|x|Rε|vε|dxε

同理

令，有

从而