2019-2020学年高中数学第1章三角函数16三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4.docxVIP

1．6三角函数模型的简单应用

[教材研读]

预习课本P60～64，思考以下问题

1．如何利用数据建立拟合三角函数模型？

2．解三角函数应用题的解题步骤是什么？

[要点梳理]

1．三角函数模型的作用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．

2．用函数模型解决实际问题的一般步骤

收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．()

2．若函数y＝asinx＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是a∈[－1,1]．()

3．已知某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin\a\vs4\al\co1(\f(π54)π＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20℃.()

[答案]1.×2.×3.×

题型一三角函数在物理中的应用

思考：电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是()

A.1100 B．100

C.150 D．50

提示：T＝2π100π＝150，故选C.

已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π3))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：

(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

[思路导引]画出函数图象，再求解．

[解]列表如下，

t

－π6

π12

π3

7π12

5π6

2t＋π3

0

π2

π

3π2

2π

sin\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π3))

0

1

0

－1

0

s

0

4

0

－4

0

描点、连线，图象如图所示．

(1)将t＝0代入s＝4sin\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π3))，得s＝4sinπ3＝23，

所以小球开始振动时的位移是23cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.

(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.

处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．

[跟踪训练]

交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203sin\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π6))来表示，求：

(1)开始时电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔；

(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

[解](1)当t＝0时，E＝2203sinπ6＝1103V.

(2)电压值重复出现一次的时间间隔

T＝2π100π＝150s.

(3)电压的最大值为2203V.

第一次获得最大值的时间为

100πt＋π6＝π2，即t＝1300s.

题型二三角函数在实际生活中的应用

思考：某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()

A．60 B．70

C．80 D．90

提示：1T＝160π2π＝80，故选C.

某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：

t(小时)

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y(米)

10.0

13.0

9.9

7.0

10.0

13.0

10.1

7.0

10.0

据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．

(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

[解](1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6.又ymin＝7，ymax＝13，

∴A＝12(ymax－ymin)＝3，

B＝12(ymax＋ymin)＝10.

∴函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．

(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，

即y＝3sinπ6t＋10≥11.