数学优化训练：间接证明.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2.2。2间接证明

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1。设a、b、c都是正数，则三个数a+,b+，c+…（)

A。都大于2B.至少有一个大于2

C。至少有一个不小于2D。至少有一个不大于2

答案:C

解析：(a+）+(b+）+(c+)=(a+）+（b+)+（c+)≥2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时取“=”。

2.下列命题错误的是（)

A。三角形中至少有一个内角不小于60°

B.四面体的三组对棱都是异面直线

C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)，至多有一个零点

D。设a、b∈Z，若a+b是奇数，则a、b中至少有一个是奇数

答案：D

解析：逐一用反证法判断。

3。设正实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于___________.

解析：假设a、b、c中至少有一个数不小于x的反命题成立。

假设a、b、c都小于x，即ax,bx，c〈x,

∴a+b+c〈3x。

∵a+b+c=1，

∴3x〉1.

∴x〉,若取x=就会产生矛盾。

答案：

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1。反证法是(）

A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明

C。对其逆命题的证明D.分析法的证明方法

答案：A

2.命题“△ABC中，若∠A∠B，则a〉b”的结论的否定应该是（）

A。abB.a≤bC。a=bD.a≥b

答案：B

解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”.

3.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()

A。无解B.两解C。至少两解D.无解或至少两解

答案：D

解析:“唯一”的意思是“有且只有一个，其反面应该为选项D。

4。在空间是否存在这样的多面体,它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边?

_______________________________________________________________________________。

解析：假设多面体有n个面（n为奇数)，且每个面的边数分别为S1，S2，…，Sn(Si为奇数，i=1，2,…，n),则多面体的总边数为S，因为每条边都是公用的，所以S1+S2+…+Sn=2S.

这里左边为奇数个奇数的和，为奇数;但右边为偶数，矛盾。

答案：不存在(或不可能有）

5。已知平面M内有两条相交直线a、b(交点为P）和平面N平行。求证：平面M∥平面N。

证明:假设平面M不平行于平面N,则M和N一定相交，设交线为c。

∵a∥平面N,∴a∥c。

同理b∥c。

则过c外一点P有两条直线与c平行.

这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾。

所以假设不成立。

所以平面M∥平面N.

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）

1。命题“三角形中最多只有一个内角是直角的结论的否定是（）

A.有两个内角是直角B。有三个内角是直角

C。至少有两个内角是直角D。没有一个内角是直角

答案：C

解析：“最多只有一个”即“只有一个或没有”，它的反面应是“至少有两个”。

2.如果两个实数之和为正数，则这两个数（）

A。一个是正数，一个是负数B。两个都是正数

C.至少有一个是正数D。两个都是负数

答案：C

解析：由反证法的意义知选项C真。

3。在数列:11，111,1111，…中（）

A.有完全平方数B.没有完全平方数

C.有偶数D.没有3的倍数

答案：B

解析：易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假。

假设有完全平方数，它必为奇数的平方.

设为=(2K+1)2（K为正整数),

则0=4K（K+1），两边除以2得

=2K(K+1）,此式左边为奇数,而右边为偶数,自相矛盾。

4.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“