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参数问题的全分离、半分离、不分离

一、参数全分离

参数全分离法：是通过将两个变量构成的不等式(或方程)变形到不等号(或等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法；两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.

解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求a的范围；

【结论1】不等式f(x)≥g(a)恒成立,等价于[f(

【结论2】不等式f(x)≥g(a)存在解,等价于[f(

【结论3】方程f(x)=g(a)

解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.

2、典型例题

【典例1】已知函数f(

（1）当a=1时,讨论f

（2）当x≥0时,f(x

解析:

（1）当x∈(?∞,0)时,f(x)单调递减,当

（2）由f(x)≥12

当x=0

当x0时,分离参数a

a

记g

g

令?

则?

故?′(x

故?(x)

由?(x)≥0

故当x∈(0,2)时,g

当x∈(2,+∞)时,g

因此,[

综上可得，实数a的取值范围是7?

【典例2】已知函数f(x)=1+ln?xx,如果当x

解析:∵x

1+ln?

即只需要k

设g

∴

令?

∴

∵x1,∴?

∴?(x

当x≥1时,

∴

所以实数k的取值范围是(?∞,2].

二、参数半分离

什么是参数半分离？

参数半分离是相对于参数全分离而言的，即把含有两个变量的复杂不等式（或方程），化成一边含有参数一边不含有参数的两个简单的，易作图的函数（不含参数的一般都可以画出图像）.含参数函数的一般是一次函数，即动直线，此动直线有两种形式，一是旋转直线系，二是平行直线系.旋转直线系过一定点，斜率不定.平行直线系斜率一定，但直线在x、y轴上的截距不定，也就是参数在一次函数的常数项中.而这种情况下参数很容易全分离出来，就是用参数全分离比较简单.而含参数的函数还有可能是二次函数（少数），而此时二次函数的对称轴一般是固定的.

那什么时候可应用参数半分离呢？当不能把参数完全分离时，有可能不容易画出图像，或者指数型函数与对数型函数混合在一起，这个时候可以利用参数半分离的形式转化为过定点的一系列旋转直线，或平移平行直线，与其他函数图像的交点问题.

2、典型例题

【典型1】若存在实数a，对任意的x∈[0,t](t∈Z)

解析：当x=0

当x∈(0,

x

如图1所示,y=|x?a|(

图1

联立

y

由

y

所以t的最大值为6.

【典型2】已知a0,函数f(x)=x2

解析：两重绝对值要脱去太难，因此转化为恒成立问题，再半分离

当x∈[?1,1]时,x

所以

?2≤

如图2所示，

图2

由y=1?x2与

由y=5?x2与y=|

所以a

以上两道例题都是转化成动直线与一个确定函数，下面则是二次函数和已确定函数

【典型3】已知方程ln?|x|?ax2+

解析：函数y=ln?|x|?ax2

令g

如图3所示,显然a≤0时,g

图3

当a0时,g(x

1

所以,有两个公共点时,0

因此实数a的取值范围是0,

【典型4】讨论关于x的方程2ln?x

解析

全分离法：

分离参数得,t

设f

f

因为x?e与

所以f(x)在(0,

又当x→0时,f(x)→?∞,当x

故当te2+2

半分离法:

原方程可变形为2ln?

设g

易得g(x)在(0,e

又?(x

如图4所示，

图4

当te2+2

三、参数不分离

参数分离固然好用，但有时却因在将参数分离出来时改变了函数的定义域，进而导致原函数定义域中的某些值不能代入参数分离后的新函数.这些不能代入的值通常是原函数的端点值，这时就需要用到超纲的洛必达法则！但有时不用分离参数，直接讨论会更简单！

【典例】设函数f(

（1）当a=12

（2）若当x≥0时，f(x)≥0

解析:(2)参数分离法：

由已知,f(x

当x=0时，a

当x0时,分离参数得

所以令g(x

求导得g′(x

则?′

所以?(x)

所以?(x)

所以g(x)在

g(0)不可求,0

参数不分离：

f(x

令g

若a≤1,则当x∈[0,+∞)时,g′(x

所以g(x)≥g

若a1,令g′

当x∈[0,ln?a)时,g′(

当x∈(ln?a,+∞)时,g′(

而g(0)=