第1讲 空间几何体的截面图形（解析版）.docx

第1讲空间几何体的截面图形

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，分别是线段与的中点，现有如下结论：

①直线与直线所成的角为；

②直线平面；

③；

④平面截正方体所得的截面是四边形．

则正确结论的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】对于①，在正方体中，连接，

因为四边形为正方形，且分别是线段的中点，

则分别是线段的中点，又分别是线段的中点，

连接,则，又平面，平面，

故，即，

即直线与直线所成的角为，①错误；

对于②，四边形为正方形，故，

而，平面，

故平面，又，故平面，②正确；

对于③，结合①的分析可知，而，

故，③正确；

对于④，过作直线，设l与直线分别交于点，，

连接，分别交于，

由于，故，且，

故延长必交于一点，设交点为N，

由于平面，平面，平面平面，

故N点在上，则均在平面上，

连接，则四边形即为平面截正方体所得的截面，④正确，

即正确结论的个数为3，

故选：C

2．（2023·全国·校联考模拟预测）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（????）

A．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为

B．异面直线与所成角的余弦值为

C．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为

D．过点、、的平面截正方体所得的截面周长为

【答案】D

【解析】对于A：三棱锥的外接球即为以、、为邻边的长方体的外接球，

因为，，

可得外接球的半径，

所以外接球的表面积，故A正确；

对于B：因为，则异面直线与所成角为，且，，

可得，所以，

所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；

对于C：取、、的中点、、，连接、、、，，

由题意可得：，，则为平行四边形，所以，

因为四边形为正方形，、分别为、的中点，则，，

所以，四边形为平行四边形，所以，，，

又因为，，可得，，

则为平行四边形，所以，可得，

因为平面，平面，则平面，

因为，，则四边形为平行四边形，则，

因为、分别为、的中点，则，同理可得，则，可得，

因为平面，平面，则平面，

因为，、平面，所以平面平面，

则点P在线段上，可得，

，

所以当点P为线段的中点时，，

取到最小值，且最小值为，故C正确；

对于D：连接、，

因为、为、的中点，则，

又因为，，则为平行四边形，可得，

则，

过作，设，，则，

可得，，

连接、，设，，连接、，

可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形，

因为，则，，

可得，，，

所以截面周长为，故D错误；

故选：D.

3．（2024·浙江湖州·湖州中学校考一模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（????）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】由题意，平面，四边形为正方形，

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

设，，则，

又，，所以，则，

由题意，四点共面，所以，

所以，解得，

所以，，所以，

所以，即，

所以，

所以，

又，

所以，

即，

所以，

所以，

所以截面的面积为.

故选：D

4．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点为的中点，则的最小值为；②过点作与和都成的直线，可以作四条；③若点为的中点时，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面周长为；④若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是.其中正确的命题有（??）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【解析】在棱长为的正方体中，

延长到，使，由点为的中点，得平面是线段的中垂面，连接，

则，,

当且仅当点为直线与平面的交点时取等号，①正确；

连接，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形，即，

显然，则，的平分线与直线都成的角，

显然在空间过点作与直线都成角的直线只有1条，

则过空间任意点作与直线都成角的直线只有1条，②错误；

当点为的中点时，取的中点，连接，

显然≌，则，，

即有，而平面，平面，则，

又平面，于是平面，而平面，

因此，同理，显然平面，

所以是平面截正方体所得截面，其周长为，③错误；

由于平面，则点到直线距离等于，即点到点的距离等于它到直线的距离，

因此点轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线在正方形及内部，

以线段中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

点轨迹方程为，直线的方程为，令，

因此点到直线：的距离，

于是当，即点时，，④正确，

所以正确命题的个数为2.

故选：C

5．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（????）

A． B． C． D