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第1讲 圆锥曲线与方程(知识点串讲)(解析版).docx

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第1讲圆锥曲线与方程(知识点串讲)

一、[体系构建]

知识整合

考点1.椭圆的定义

平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两定点F1,F2叫做椭圆的焦点.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.

(1)当2a>|F1F2|时,P点的轨迹是椭圆;

(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是线段;

(3)当2a<|F1F2|时,P点不存在.

例1、(2019·山东日照月考)方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()

A.k4 B.k=4

C.k4 D.0k4

【答案】D[椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,k)=1,焦点在x轴上,所以0k4.]

考点2.与椭圆定义有关的结论

以椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(ab0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则(1)|PF1|+|PF2|=2a.

(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cosθ.

(3)S△PF1F2=eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,为bc.

(4)焦点三角形的周长为2(a+c).

例2、(2019·山东邹城模拟)已知△ABC的顶点B,C在椭圆eq\f(x2,3)+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()

A.2eq\r(3) B.6

C.4eq\r(3) D.12

【答案】C[由椭圆的方程得a=eq\r(3).设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,

所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=4a=4eq\r(3).]

[跟踪训练]

1、(2019·内蒙古呼和浩特月考)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为__________,最小值为__________.

【答案】6+eq\r(2)6-eq\r(2)[椭圆方程化为eq\f(x2,9)+eq\f(y2,5)=1,

设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),

∴|AF1|=eq\r(2),∴|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,

又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),∴|PA|+|PF|≤6+eq\r(2),|PA|+|PF|≥6-eq\r(2).]

考点3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系

(1)P(x0,y0)在椭圆内?eq\f(x\o\al(2,0),a2)+eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1.

(2)P(x0,y0)在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)+eq\f(y\o\al(2,0),b2)=1.

(3)P(x0,y0)在椭圆外?eq\f(x\o\al(2,0),a2)+eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.

考点4.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)

eq\f(x2,b2)+eq\f(y2,a2)=1(a>b>0)

图形

范围

-a≤x≤a,-b≤y≤b

-b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0)

顶点

A1(-a,0),A2(a,0),

B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a),

B1(-b,0),B2(b,0)

长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|=2c

离心率

e=eq\f(c,a),e∈(0,1)

a,b,c

的关系

c2=a2-b2

例3、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()

A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)

C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)

【答案】A[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.

又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,

∴圆心到直线的距离d=eq\f(2ab,\r(a2+b2))=a

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