北京市房山区良乡中学2024-2025学年高三上学期考试数学试题.docxVIP

高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（）

A. B. C. D.

3.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则（）

A. B. C. D.

4.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）

A.4 B. C. D.

5.不等式成立的一个充分不必要条件是（）

A. B. C. D.

6.的零点一定位于以下的区间为（）

A. B. C. D.

7.若且，则与的夹角是（）

A. B. C. D.

8.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且A、B、三点共线，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（）

A. B. C. D.

9.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（）

A. B. C. D.

10.若可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

二、填空题

11.函数的定义域为____________.

12.已知，则的值为____________.

13.已知向量.若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为_______.

14.函数的最小正周期为____________；若函数在区间上单调递增，则的最大值为____________.

14.已知函数其中且.给出下列四个结论：

①若，则函数的零点是0；

②若函数无最小值，则的取值范围为；

③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；

④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为.

其中，所有正确结论的序号是____________.

三、解答题

16.已知函数.

（1）求的值

（2）求函数在区间上的最小值和最大值.

17.已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，是正三角形，平面分别是的中点.

（1）求证：平面ABCD；

（2）求平面EFG与平面ABCD夹角的大小；

18.某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.

（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；

（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.

19.在中，.

（1）求；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积.

条件①：；

条件②：BC边上中线的长为；

条件③：.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

20.已知函数.

（1）当时，求的单调区间和极值；

（2）当时，求证：；

21.已知函数.

（I）求证：1是函数的极值点；

（II）设是函数的导函数，求证：.

参考答案

一、单选题

1.【答案】C

【详解】，又则

故选C

2.【答案】D

【详解】由一次函数的性质可知，在区间上单调递增；

由二次函数的性质可知，在区间上单调递增；

由幂函数的性质可知，在区间上单调递增；

结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增.

故选：D.

3.【答案】C

【详解】依题意得，又因为，所以有.

故选：C.

4.【答案】C

【详解】由图形可知：，

.

故选：C.

5.【答案】A

【详解】不等式，则是成立的一个充分不必要条件.

故选：A

6.【答案】B

【详解】函数在上单调递增，

故函数的零点一定位于区间.

故选：B.

7.【答案】B

【详解】解：设与的夹角是且，

.

.

故选：B.

8.【答案】A

【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，

因为为的中点，所以，，

当伞完全收拢时，，所以，，

在中，，

所以，.

故选：A.

9.【答案】B

【详解】因，则，于是得，

当且仅当，即时取等号，的最小值为1，则，

函数，其图象关于直线对称，当时，单调递减，只有B选项满足.

故选：B

10.【答案】D

【详解】当时，；当时