高中数学人教A版必修第一册：4.1 指数-教学设计第二课时.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一年级

学期

秋季

课题

4.1指数（第二课时）

教学目标

1.类比用有理数逼近无理数体会从“数”与“形”两个角度，理解有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，渗透逼近思想和极限思想，理解无理数指数幂的意义。

2.在信息技术的帮助下加深对无理数指数幂的理解，发展数学运算和数学抽象的素养。

3.了解指数幂的拓展过程与原理，掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养。

教学重难点

教学重点：

1.类比初中初中有理数到无理数的推广，进一步将有理数指数幂推广到无理数指数幂。

2.掌握实数指数幂的运算及其性质。

教学难点：

1.建立指数幂推广的整体框架。

2.借助有理数逼近，在信息技术帮助下，理解无理数指数幂的意义。

教学过程

环节一、教学背景

牛顿在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将，，，…写成，，，所以可将，，，…写成，，，…，将，，，…写成，，，…”，

【设计意图】数学史的引入，说明上节课对指数幂函数的研究符合真实的历史历程，提升学生的学习兴趣，为后续研究做铺垫。

问题1：说出根式与分数指数幂的转化，以及有理数指数幂的运算性质。

学生预设：正数的正分数指数幂的意义：

正数的负分数指数幂的意义：

有理数指数幂的运算性质如下：

（1）

（2）

（3）

幂中指数的取值范围从整数拓展到了有理数，有一致的运算性质。

【设计意图】复习巩固上一节课学习过的有理数指数幂及其运算性质，为本节课无理数指数幂及其运算的学习做铺垫。

问题2：上节课的学习我们将中指数的取值范围从整数推广到有理数，那么当指数是无理数时，这个指数幂意义是什么？是一个确定的数吗？

追问1：回顾初中对无理数的研究，谈谈无理数是如何发现？

师生活动：因为，所以；因为，所以；因为，所以；从而产生了一串逐渐向靠近的数：；

但是无论延续到第几个数，与都不够接近，因为；但是，所以，经过以上探究初步得到：。

经过以上探究初步得到：，得到接近的第一个值为1.4。

类比以上探究：；，因此

，得到接近的第二个值为1.41。

，，因此，得到接近的第三个值为1.414

由此我们就产生出一系列从小于方向逐渐逼近的数1.4、1.41、1.414，

这些数我们称为的不足近似值，余下的数称为的过剩近似值，列出表格如下：

师生活动：不断计算下去，我们可以得到两组差值不断减小的数据，通过对比还可以发现过剩近似值与不足近似值之间的差值从0.1缩小到0.01，不断缩小直到到可忽略不计，而这个差值就是根号二近似值的精确度，一直计算下去可以得到根号2任何精确度的近似值，因此我们认为根号2是一个确定的数，但是是一个无限不循环小数。

追问2：类比无理数的逼近方法，设计方案解释的意义

学生预设：若根号2是一个确定的数，那么5的根号2次方也应该是一个确定的数，也就是说，无理数既然存在，无理数指数幂也应该存在，我们可以借助根号二的不足近似值与过剩近似值，通过计算有理数指数幂的值来逼近5的根号二次方这个无理数指数幂，由此来认识5的根号2次方是否存在，而其中的幂运算直接计算较难实现，需要自助计算器或者是信息技术软件，在这里我们使用geogebra进行求解，借助计算器计算，得如下表格

师生活动：通过分析数据及观察数轴图形，我们可以发现5的√2次方是由一串小于5的√2次方方向逐渐逼近的有理数指数幂及一串大于5的√2次方向逐渐逼近的有理数指数幂逐渐逼近的结果，因此它也存在任意精度的近似值，并且是一个确定的数，无限接近9.7385，因此我们认为5的√2次方是一个确定的数，但是是一个无限不循环小数。

追问3：无论是还是，不仅在数轴上存在，而且唯一，参照以上研究过程，请说明也是一个确定的实数

学生预设：首先需要通过不断取值的逼近思想计算出根号三的不足近似值与过剩近似值，再借助计算器或者信息技术工具计算两组数据产生的不足近似值与过剩近似值有理数指数幂，最终得到对的研究结果如下表所示，观察表格我们发现通过的有理数近似值得到的有理数指数幂计算结果仍旧不断逼近某一个确定的数，大小约为3.321997结合以上对以及的数据及图形分析，我们发现当指数是无理数时，是一个确定的数，也就是说经过探究我们已经确信无理数指数幂是一个实数。

【设计意图】类比无理数的存在性，猜想无理数指数幂的存在性，并设计方案，开展实验探究，验证猜想的正确性，并通过追问3的变式训练，再经历一次相同的过程，强化对无理数指数幂意义的理解，达到对无理数指数幂意义和存在性理解，此外，通过类比无理数的逼近方法，解释无理数指数幂的意义，让学生体会其中蕴含的极限思想。

问题3：如何理解无理数指数幂？

学生预设：一般地，无理数指数幂（且是无理数）是一个确定的实数，这样我们就将指数幂中指数的取值范