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通信原理（陈启兴版）第9章课后习题答案

第9章差错控制编码

9.1学习指导

9.1.1要点

差错控制编码常称为纠错编码，或信道编码，其基本思想是在发送端根据⼀定的规律在待发送的信息码元中加⼊监督码元，接收端就可以利⽤监督码元与信息码元的关系来发现或纠正错误，其实质就是

通过牺牲有效性来换取可靠性的提⾼。

本章的要点有差错控制技术和编码分类；最⼩码距与纠检错能⼒；线性分组码的⽣成、监督和纠错；循环码的⽣成多项式、⽣成矩阵、编码和译码；卷积码的矩阵、多项式和图形描述⽅法。

1.差错控制技术

对于不同类型的信道，应该采⽤不同的差错控制技术。差错控制技术主要有以下四种。

(1)检错(errordetection)重发(retransmission)：在发送码元序列中加⼊差错控制码元，接收端利⽤这些码元检测到有错码时，利⽤反向信道通知发送端，要求发送端重发，直到正确接收为⽌。所谓检测到

有错码，是指在⼀组接收码元中知道有⼀个或⼀些错码，但是不知道该错码应该如何纠正。在⼆进制系统中，这种情况发⽣在不知道⼀组接收码元中哪个码元错了。因为若知道哪个码元错了，将该码元

取反即能纠正，即将错码“0改”为“1或”将错码“1改”为“0就可以”了，不需要重发。在多进制系统中，即使知道了错码的位置，也⽆法确定其正确取值。

采⽤检错重发技术时，通信系统需要有双向信道传送重发指令。

(2)前向纠错(ForwardErrorCorrection)：这时接收端利⽤发送端在发送码元序列中加⼊的差错控制码元，不但能够发现错码，还能将错码恢复其正确取值。在⼆进制码元情况下，能够确定错码的位置，

就相当于能够纠正错码。

采⽤FEC时，不需要反向信道传送重发指令，也没有因反复重发⽽产⽣的时延，故实时性好。但是为了能够纠正错码，⽽不是仅仅检测到错码，和检错重发相⽐，需要加⼊更多的差错控制码元。故设备

要⽐检测重发设备复杂。

(3)反馈(feedback)校验(checkout)：这时不需要在发送序列中加⼊差错控制码元。接收端将接收到的码元原封不动地转发回发送端。在发送端将它和原发送码元逐⼀⽐较。若发现有不同，就认为接收端

收到的序列中有错码，发送端⽴即重发。这种技术的原理和设备都很简单。但是需要双向信道，传输效率也较低，因为每个码元都需要占⽤两次传输时间。

(4)检错删除(deletion)：它和检错重发的区别在于，在接收端发现错码后，⽴即将其删除，不要求重发。这种⽅法只适⽤在少数特定系统中，在那⾥发送码元中有⼤量多余度，删除部分接收码元不影响应

⽤。例如，在循环重复发送某些遥测数据时。⼜如，⽤于多次重发仍然存在错码时，这时为了提⾼传输效率不再重

发，⽽采取删除的⽅法。这样做在接收端当然会有少许损失，但是却能够及时接收后续的消息。

以上⼏种技术可以结合使⽤。例如，检错和纠错技术结合使⽤。当接收端出现少量错码并有能⼒纠正时，采⽤前向纠错技术；当接收端出现较多错码没有能⼒纠正时，采⽤检错重发技术。

2.信道编码分类

按照信道特性和设计的码字类型分类，信道编码可以分为纠独⽴随机差错码，、纠突发差错码和纠混合差错码。按照码字的功能分类，有检错码和纠错码。按监督码元与信息码元之间的关系分类，有线

性码和⾮线性码。按照对信息码元和监督码元的约束关系分类，有分组码和卷积码。按照信息码元在编码后是否保持原来的形式不变，可划分为系统码和⾮系统码。

3.纠错编码的基本概念

(1)码重和码距

码重：在分组码中，码组中“1的”个数，例如，110011码组的码重为4。

码距：两个码组中对应位上数字不同的位数。码距⼜称为汉明距离。例如，101010与011011之间的距离为3。

最⼩码距：某种编码中各个码组之间距离的最⼩值。记为d0。⼀种编码的最⼩码距d0的⼤⼩直接关系着这种编码的检错和纠错能⼒。

(2)最⼩码距与纠检错能⼒

码率为Rc=k/n的(n,k)分组码，纠检错能⼒为

a.检测e个错码，要求最⼩码距：d0≥e+1

b.纠正t个错码，要求最⼩码距：d0≥2t+1

c.纠正t个错码同时可检测e个错码，要求d0≥e+t+1且et

4.线性分组码

(n,k)线性分组码是以n长码字的集合构成的独⽴纠错码。其组成由k位信息位的线性组合决定n-k个监督位。在码字集合中任意两个码字模2和仍是该码中的⼀个码字，即线性分组码具有封闭性。

(1)⽣成矩阵和监督矩阵

线性分组码的编码可由⽣成矩阵G和监督矩阵H确定。线性分组码的信息码元M、码组A、G阵和H阵的关系为

HAT=0T(9-1)

A=MG(9-2)式中，M是编码器的输⼊信息码元序列；A=(an