疑难压轴 带电粒子在电磁场中的运动（解析版）.pdf

带电粒子在电磁场中的运动

1.(2024•浙江)类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如

图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平

面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为φ和φ，其电势差U=φ-

ⅠⅢⅠ

φ。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角θ射向Ⅰ区，在P点以出射角θ射出，实现“反

Ⅲ

射”；质子束从P点以入射角θ射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。

已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为v，不计质子重力，不考虑质子间相互

0

作用以及质子对磁场和电势分布的影响。

(1)若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；

2

(2)若U=mv0，求“折射率”n(入射角正弦与折射角正弦的比值)；

2e

(3)计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”(即质子束全部返回Ⅰ区)；

3mv04mv0

(4)在P点下方距离处水平放置一长为的探测板CQD(Q在P的正下方)，CQ长为

eBeB

mv0，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时

eB

从O点射入Ⅰ区，且θ=30°，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。

【解答】解：(1)根据题意，粒子从O点射入时的运动轨迹如图所示：

粒子从O点射入，不出Ⅰ区域的临界条件为2r=dmin

2

洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律Bev=mv0

0

r

2mv0

代入数据解得d=2r=

min

Be

(2)设水平方向为x方向，竖直方向为y方向，x方向速度不变，y方向速度变大，假设折射角为θ′

1

1212

根据动能定理Ue=mv-mv10

22

2

由于U=mv0

2e

代入数据联立解得v=2v10

设粒子射出区域Ⅱ时与竖直方向成θ′角，如图所示：

根据速度关系v=vsinθ=vsinθ′

x01

sinθ

根据折射定律n=

sinθ

代入数据联立解得“折射率”n=2

(3)在Ⅱ区域下边界发生全反射的条件是沿竖直方向的速度为零；

12

根据动能定理Ue=0-m(vcosθ)

0

2

22

mvcosθ0

可得U=-

2e

22