人教版数学九年级下册重难点培优训练专题27.13相似三角形与动点综合问题（解析版）.docVIP

专题27.13相似三角形与动点综合问题（重难点培优）

注意事项：

本试卷满分100分，试题共22题，其中选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在锐角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与

A．3s或4.8s B．3s C．4.5s

【答案】A

【分析】设以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为ts

【详解】解：设以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为ts

根据题意得：AD=tcm，CE=2tcm，则

当△ADE～△ABC，即ADAB

∴t6=12?2t

当△ADE～△ACB，即ADAC

∴t12=12?2t

综上所述，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为3s或4.8

故选：A

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．

2．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰RtΔBPE，连结AE，DE，则DE的最小值为(????)

A．1 B．2 C．2 D．2

【答案】B

【分析】当DE⊥AE时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】连接AE

∵ABBC

∴ABBC

∵∠ABE=∠CBP

∴△ABE∽△CBP

∴∠BAE=∠BCP=45°

∴∠BAE=∠CBA

∴AE//

∴E点的运动轨迹为射线AE

∴当DE最短时，DE⊥AE

即当DE⊥AE时，DE有最小值

∵在Rt△ABC中，

∴AD=1

∵∠DAE=45°

∴△ADE是等腰直角三角形

∴DE=2

∴DE的最小值是2

故答案为：B．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．

3．（2022·江苏·无锡市金桥双语实验学校九年级阶段练习）如图，A（?1，1），B（?1，4），C（?5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（???）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【分析】如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．利用相似三角形的性质求出MG，GH，MH，利用勾股定理的逆定理，证明△MGH是直角三角形，即可解决问题．

【详解】解：如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．

∵A（?1，1），B（?1，4），C（?5，4），

∴AB=3，BC=4，AC=5，

∵OMOA=

∴△AOB∽△MOG，

∴MG

∴MG=3

同法可得，GH=22BC=2

∴MH

∴点Q的轨迹形成的封闭图形面积=1

故选：B．

【点睛】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．

4．（2022·辽宁沈阳·九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位长度/秒的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位长度/秒的速度向点B运动，其中一点到达另一点即停．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（????）

A．2411秒 B．95秒 C．2411

【答案】C

【分析】首先设t秒钟ΔABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t，CQ=2t，BQ=BC?CQ=6?2t，然后分两种情况当ΔBAC∽ΔBPQ

【详解】解：设运动时间为t秒．

BP=t，CQ=2t，BQ=BC?CQ=6?2t，

当ΔBAC∽ΔBPQ

即t8

解得t=24

当ΔBCA∽ΔBPQ

即t6

解得t=9

综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与ΔABC相似时，运动时间为2411s或

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想．

5．（2022·浙江·沈家门第一初级中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动.设△ABP的