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流体运动的连续性方程工程流体力学

流体运动的连续性方程概述连续性方程是流体运动学的基本方程，是质量守恒原理的流体力学表达式。流体被视为连续介质，流场中任一封闭曲面，在任一瞬时流进封闭曲面的的流体质量与流出流体质量之差应等于封闭曲面内因密度变化而引起的质量变化，即流动必须遵循质量守恒定律。

流体运动的连续性方程1.1连续性微分方程在流场中取微小直角六面体空间为控制体，正交三个边dx，dy，dz分别平行于x，y，z轴，如图所示。首先计算dt时间x方向流出和流入控制体的质量差，即x方向净流出质量为：同理，y、z方向的净流出质量如下：

流体运动的连续性方程1.1连续性微分方程则dt时间控制体的总净流出质量为：则dt时间控制体的总净流出质量必等于控制体由于密度变化而减少的质量，即 （4-17）

流体运动的连续性方程1.1连续性微分方程式（4-17）即为可压缩流体非恒定流的连续性微分方程，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是：流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流进的质量差与其内部质量变化的代数和为零，即流体质量守恒。

流体运动的连续性方程1.1连续性微分方程对于均匀不可压缩流体，ρ为常数，则 （4-18）式（4-18）即为不可压缩流体的连续性微分方程。该式说明：对于均匀不可压缩流体来说，单位时间流出与流进单位体积空间的流体体积之差等于零，即流体体积守恒。上述形式的连续性微分方程是1755年欧拉首先建立的，是质量守恒原理的流体力学表达式（微分形式），它是支配流体流动的基本微分方程式。

流体运动的连续性方程1.2总流的连续方程设恒定总流，在总流上任取两个过流断面①、②，其面积和断面平均流速分别是A1、A2、υ1、υ2，密度分别为ρ1、ρ2。以两过流断面及其间的总流侧表面所包围的空间作为控制体（图中的虚线），则流出控制体的质量流量为ρ2υ2A2，流入控制体的质量流量为ρ1υ1A1。因此，恒定流动中流出和流入控制体的质量流量可写成 （4-19）这就是恒定流动条件下总流的连续性方程。它表明，在恒定流动中，总流沿程通过各过流断面的质量流量都相等。

流体运动的连续性方程1.2总流的连续方程若流动不仅是恒定的，流体还是不可压缩的，则式（4-19）中ρ1=ρ2，故有 （4-20）该式表明，在不可压缩流体的恒定流动中，总流沿程通过各过流断面的体积流量都相等，因而总流过任意两流断面的平均流速与其面积成反比。

流体运动的连续性方程1.2总流的连续方程【例4-4】设有两种均匀不可压缩的二元流动，流速为①ux=-2x，uy=-2y；②ux=0，uy=3xy，检查流动是否满足连续条件。【解】代入连续性方程① 满足连续性条件；② 不满足连续性条件，流动不存在。

流体运动的连续性方程1.2总流的连续方程【例4-5】直径4.5cm的压气机进口断面上空气的密度为1.2kg/m3，平均流速为5m/s。经过压缩后在直径为2.5cm的圆管中以平均流速3m/s送出，求通过压气机的质量流量和出口断面的空气密度。【解】进入压气机的质量流量为根据连续性方程，流出压气机与流入压气机的质量流量应该相等，故

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