2019-2020学年高中数学第1章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4.docxVIP

1．1.1任意角

[教材研读]

预习课本P2～5，思考以下问题

1．角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？可分为哪几类？

2．象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？

3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？

[要点梳理]

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的表示

如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类(按旋转方向分)

名称

定义

图示

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线没有作任何旋转形成的角

2.象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．－30°是第四象限角．()

2．钝角是第二象限的角．()

3．终边相同的角一定相等．

[答案]1.√2.√3.×

题型一任意角的概念

思考：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？

提示：不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．

下列命题正确的是()

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β180°范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°的角是锐角

[思路导引]对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．

[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．

[答案]C

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

【温馨提示】角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：(1)旋转的方向；(2)旋转角的大小；(3)射线未作任何旋转时的位置．

[跟踪训练]

如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________.

[解析]∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°，

∴∠AOC的度数为60°.

[答案]60°

题型二终边相同的角与象限角

思考1：终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？

提示：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．

思考2：若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？

提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的非负半轴重合，终边处在第一象限．

已知角α＝2018°.

(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ720°.

[思路导引]解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．

[解](1)由2018°除以360°，得商为5，余数为218°.

∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.

又β＝218°是第三象限角，∴α为第三象限角．

(2)与2018°终边相同的角为

k·360°＋2018°(k∈Z)．

令－360°≤k·360°＋2018°720°(k∈Z)，

解得－6109180≤k－3109180(k∈Z)．

所以k＝－6，－5，－4.

将k的值代入k·360°＋2018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.

(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用竖式除法．

(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

[跟踪训练]

在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，