2019-2020学年高中数学第1章三角函数13三角函数的诱导公式（第一课时）导学案新人教A版必修4.docxVIP

1.3三角函数的诱导公式(第一课时)

[教材研读]

预习课本P23～26，思考以下问题

1．给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

2．给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

3．给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

[要点梳理]

1．诱导公式二

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．

如右图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，

cos(π＋α)＝－cosα，

tan(π＋α)＝tanα.

2．诱导公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．

如右图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sinα.

cos(－α)＝cosα.

tan(－α)＝－tanα.

3．诱导公式四

(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．

如右图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sinα.

cos(π－α)＝－cosα.

tan(π－α)＝－tanα.

4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．诱导公式中角α是任意角.()

2．公式sin(－α)＝－sinα，α是锐角才成立．()

3．公式tan(π＋α)＝tanα中，α＝π2不成立．()

[答案]1.×2.×3.√

题型一给角求值问题

思考：sin30°＝________，cos30°＝________

sin45°＝________，cos45°＝________

sin60°＝________，cos60°＝________

sin90°＝________，cos90°＝________

提示：123)22)22)23)21210

求下列三角函数值：

(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.

[思路导引]利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数．

[解](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－3)2.

(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)

＝tan225°＝tan(180°＋45°)

＝tan45°＝1.

(3)cos119π6＝cos\a\vs4\al\co1(20π－\f(π6))

＝cos\a\vs4\al\co1(－\f(π6))＝cosπ6＝3)2.

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

【温馨提示】明确各诱导公式的作用

诱导公式

作用

公式一

将角转化为0～2π之间的角求值

公式二

将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值

公式三

将负角转化为正角求值

公式四

将角转化为0～π2之间的角求值

[跟踪训练]

求sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°的值．

[解]sin585°cos1290°＋cos(－30°)·sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)·cos(3×360°＋210°)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos30°·sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°·sin30°－tan45°＝2)2×3)2－3)2×12－1

＝6)－\r(3)－44.

题型二化简求值问题

思考：化简cos－αtan7π＋αsinπ－α＝________.

提示：原式＝cosα·tanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα

＝sinαcosαsinα＝sinαsinα＝1.

故原式＝1.

化简下列各式．

(1)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α；

(2)1＋2sin290°cos430°)sin250°＋cos790°.

[思路导引]利用诱导公式一～四化简．

[解](1)原式

＝sin2π－αcos2π－αcosπ－αsinπ－α

＝－sinα－sinαcosαcosα－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα.

(2)原式

＝1＋2sin360°－70°cos360°＋70°)sin180°＋70°＋cos720°＋70°

＝1－2sin70°cos70°)－sin70°＋cos7