高考数学热点专题7之5立体几何中的探索性问题问题（原卷版）.docxVIP

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立体几何中的探索性问题

思路引导

思路引导

一．立体几何中的探索性问题

(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．

(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．

(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．

二．立体几何中的探索性问题答题思路

母题呈现

母题呈现

【典例】（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

【例2】（2022·北京工业大学附属中学三模）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点.

（Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；

（Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.

方法总结

方法总结

利用空间向量巧解探索性问题的策略

(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.

(2)解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.

[提醒]探索线段上是否存在点时,注意三点共线条件的应用.

模拟训练

模拟训练

1．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知四棱锥中，平面，，，，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

2．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．

(1)证明：平面；

(2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

3．（2023·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等腰三角形，.

(1)求证：；

(2)若侧面底面，侧棱与底面所成角的正切值为，为侧棱上的动点，且.是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出实数若不存在，请说明理由.

4．（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点．

(1)求证：MN平面PAD；

(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．

(1)求证：面面ABCD；

(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．

6．（2023·上海·统考模拟预测）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.

(1)求四面体的体积；

(2)是否存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为？若存在，请描述点的位置；若不存在，请说明理由.

7．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，．

(1)求证：平面PBC；

(2)在棱PC上是否存在一点G，使平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．

8．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，为线段上一点.

(1)求证：；

(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

9．（2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.

(1)求到平面的距离；

(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测