2019-2020学年高中数学第2章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4.docxVIP

2．1平面向量的实际背景及基本概念

[教材研读]

预习课本P74～76，思考以下问题

1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3．两个向量(向量的模)能否比较大小？

4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？

5．如何判断相等向量或共线向量？向量→与向量→是相等向量吗？

[要点梳理]

1．向量的概念和表示方法

(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．

(2)向量的表示

2.向量的长度(或称模)与特殊向量

(1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模)．

(2)向量的长度表示：向量→，a的长度分别记作：|→|，|a|.

(3)特殊向量：

①长度为0的向量为零向量，记作0；

②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

3．向量间的关系

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．两个向量能比较大小．()

2．向量的模是一个正实数．()

3．单位向量的模都相等．()

4．向量→与向量→是相等向量．()

[答案]1.×2.×3.√4.×

题型一向量的有关概念

思考：已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．

其中是数量的有__________，是向量的有__________．

提示：②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧

下列说法正确的有__________．(填序号)

①若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

②若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．

[思路导引]利用向量的有关概念逐一判断．

[解析]①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．

②正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.

③不正确．依据规定：0与任一向量平行．

④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．

[答案]②⑤

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

[跟踪训练]

下列说法错误的有__________．(填上你认为所有符合的序号)

①两个单位向量不可能平行；

②两个非零向量平行，则它们所在直线平行；

③当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a||b|，则ab.

[解析]①错误，单位向量也可以平行；

②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；

③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．

[答案]①②③

题型二向量的表示

思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？

提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．

在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)→，使|→|＝42，点A在点O北偏东45°；

(2)→，使|→|＝4，点B在点A正东；

(3)→，使|→|＝6，点C在点B北偏东30°.

[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|→|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量→如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向处，且|→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量→如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|→|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量→如图所示．

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[跟踪训练]

一辆汽车从A点出发向西行驶了10