2019-2020学年高中数学第2章平面向量231平面向量基本定理导学案新人教A版必修4.docxVIP

2．3.1平面向量基本定理

[教材研读]

预习课本P93～94，思考以下问题

1．平面向量基本定理的内容是什么？

2．如何定义平面向量基底？

3．两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？

[要点梳理]

1．平面向量基本定理

条件

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

结论

这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

基底

不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

2．向量的夹角

条件

两个非零向量a和b

产生

过程

作向量→＝a，→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

范围

0°≤θ≤180°

特殊

情况

θ＝0°

a与b同向

θ＝90°

a与b垂直，记作a⊥b

θ＝180°

a与b反向

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．任意两个向量都可以作为基底．()

2．一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．()

3．零向量不可以作为基底中的向量．()

[答案]1.×2.×3.√

题型一用基底表示向量

思考：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？

提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若→＝a，→＝b，试用a，b表示→，→，→.

[解]如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．

则→＝→＝12→＝12a；

→＝→－→＝→－12→＝b－12a；

→＝→－→＝－→－12→

＝－→－12\a\vs4\al\co1(－\f(1AB→))＝14a－b.

用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．

[跟踪训练]

如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若→＝a，→＝b，试用a，b为基底表示向量→，→.

[解]∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，

∴→＝→＝2→，→＝→＝2→.

∴→＝12→＝12b，

→＝12→＝12→＝－12→

＝－12a.

∴→＝→＋→＋→＝－→＋→＋→

＝－b＋a＋12b＝a－12b.

→＝→＋→＝→＋→＝b－12a.

题型二向量的夹角

思考：平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

提示：存在．不一样．

已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.

[思路导引]利用图形作a与b及a＋b与a－b，从而求得a＋b与a及a－b与a的夹角．

[解]如图，作→＝a，→＝b，且∠AOB＝60°，

以OA、OB为邻边作▱OACB，

则→＝a＋b，→＝→－→＝a－b，

→＝→＝a.

因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，

所以∠OAB＝60°＝∠ABC，

即a－b与a的夹角β＝60°.

因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，

所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，

即a＋b与a的夹角α＝30°，

所以α＋β＝90°.

(1)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ20时，θ0＝180°－θ；当λ1λ20时，θ0＝θ.

[跟踪训练]

若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

[解]由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线．

如右图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，

∴∠BOA＝60°.

又∵→＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，

∴a与a＋b的夹角是30°.

题型三平面向量基本定理的应用

如下图所示，已知△AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，→＝2→，DC和OA交于点E，设→＝a，→＝b.

若→＝λ→，求实数λ的值．

[思路导引]由题知C，E，D三点共线，从而由→∥→求解．

[解]由题意知，→＝→＝→－→＝a－b

∴→＝→＋→＝2a－b

又∵→＝→－→

＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b

→＝→－→＝(2a－b)－23b

＝2a－53b

而C，E，D三点线．

∴→∥→，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.

(1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系