2019-2020学年高中数学第2章平面向量章末整合导学案新人教A版必修4.docxVIP

章末整合

考点一向量的线性运算

1．平面向量的线性运算及运算律

(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即→＋→＝→

向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．

加法满足交换律、结合律．

(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．

几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．

(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．

2．向量共线及平面向量基本定理

(1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．

特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使→＝x→，或对直线外任意一点O，有→＝x→＋y→(x＋y＝1)．

(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．

由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M、N分别是DA、BC的中点，且DCAB＝k，设→＝e1，→＝e2，以e1、e2为基底表示向量→、→、→.

[解]∵→＝e2，且DCAB＝k，∴→＝k→＝ke2.

∵→＋→＋→＋→＝0，∴→＝－→－→－→

＝－→＋→＋→＝e1＋(k－1)e2.

又∵→＋→＋→＋→＝0，且→＝－12→，

→＝12→，∴→＝－→－→－→

＝－12→＋→＋12→＝k＋12e2.

向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心；是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．

[跟踪训练2]

(1)平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且→＝12→，连接DC延长至E，使|→|＝14|→|，则点E的坐标为________．

(2)在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得→＝13→＋23→，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由．

[解析](1)∵→＝12→，

∴→－→＝12(→－→)．

∴→＝2→－→＝(3，－6)．

∴点C坐标为(3，－6)．

|→|＝14|→|，且E在DC的延长线上，

→＝－14→.设E(x，y)，

则(x－3，y＋6)＝－14(4－x，－3－y)，

得x－3＝－1＋\f(14314)y，

解得x＝\f(83y＝－7.

(2)假设存在D点，使得→＝13→＋23→.

则→＝13→＋23(→＋→)

＝→＋23→

→－→＝23→，即→＝23→，

→＝23×\a\vs4\al\co1(\f(1CA→))，所以→＝13→.

所以，存在点D为AC的三等分点\a\vs4\al\co1(\o(CD→)CA→))时，使得→＝13→＋23→.

[答案](1)\a\vs4\al\co1(\f(83)，－7)(2)见解析

考点二平面向量的坐标运算

若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；

(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2)；

(3)λa＝(λa1，λa2)；

(4)a·b＝a1b1＋a2b2；

(5)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或a1b1＝a2b2(b1≠0，b2≠0)；

(6)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；

(7)|a|＝a·a＝222；

(8)若θ为a与b的夹角，则

cosθ＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2a\o\al(22b\o\al(222).

(1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量→同方向的单位向量为()

A.\a\vs4\al\co1(\f(345) B.\a\vs4\al\co1(\f(435)

C.\a\vs4\al\co1(－\f(345) D.\a\vs4\al\co1(－\f(435)

(2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()

A．－2 B.2

C．－2或2 D．0

(3)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量→在→方向上的投影为()

A.2)2 B.15)2

C．－2)2 D．－15)2

[解析](1)由已知，得→＝(3，－4)，所以|→|＝5，因此与→同方向的单位向量是15→＝\a\vs4\al\co1(\f(345).

(2)a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，

∴