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全国初中数学竞赛培优教程
全国初中数学竞赛培优教程
专题04有理数的运算(学生版)
真题重现
(2024七年级·全国·竞赛)古埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用分子为1的分数,例如:用12+14来表示34,用13+14+15来表示4760.现有99
(1)从这99个分数中挑出4个分数,使它们的和等于34
(2)能否从这99个分数中挑出9个分数,加上正、负号,使它们的和等于0?若能,求出满足条件的9个分数;若不能,说明理由.
考点突破
一、有理数的加减
【学霸笔记】
一、有理数加法
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
若则;
若则。
2. 异号两数相加,绝对值相等时,和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
绝对值相等:若且,则;
绝对值不相等:
若且,则;
若且,则。
3. 一个数与0相加,仍得这个数。
三、有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数,
较大的数-较小的数=正数,即若,则;
较小的数-较大的数=负数,即若,则;
相等的两个数相减等于0,即若,则;
0减去任何数都等于这个数的相反数,任何数减去0仍等于这个数.
【典例】(2024八年级·全国·竞赛)设A=999072+888082
A.8 B.11 C.13 D.14
【答案】C
【分析】本题考查了数的平方,计算出每个平方数的后两位,再相加即可得到答案.
【详解】解:999072的后两位为49
888082的后两位为64
777092的后两位为81
∵49+64+81=194,
∴个位上的数字为4,十位上的数字为9,4+9=13,
故选:C.
【巩固】(2024七年级·全国·竞赛)甲、乙两个瓶子里都装有水,第一次把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里,使甲瓶子里的水增加一倍;第二次把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里,使乙瓶子里现有的水增加一倍;第三次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里,使甲瓶子里现有的水增加一倍;第四次再把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里,使乙瓶子里现有的水增加一倍;第五次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里,使甲瓶子里现有的水增加一倍.这样一来,两个瓶子里就各有480毫升的水,那么两个瓶子里原有的水相差毫升(假定两个瓶子都足够大).
二、有理数的乘除
【学霸笔记】
一、有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
0与任何数相乘都得0;
任何数与1相乘都等于它本身,任何数与-1相乘都等于它的相反数;
拓展:
几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数有偶数个时,积为正;
几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么至少有一个因数为0.
一般地,在乘法运算中,若有带分数和小数,应先把带分数化为假分数,小数化为分数之后再计算,方便约分.
二、有理数除法法则
除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;
两个不为0的数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
0除以任何一个不为0的数都等于0,0不能作为除数,无意义.
一个非零的数除以它的本身等于1.
两数相除要先确定商的符号,再确定绝对值,其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.
【典例】(2024七年级·全国·竞赛)在2018的左边添加一个数字a,右边添加一个数字b,组成一个六位数a2018b,且a2018b能被45整除,则ab的最大值是(????)
A.10 B.35 C.56 D.81
【答案】A
【分析】本题考查有理数的除法运算,根据整除的概念,得出b=0或b=5,根据b的不同取值,讨论ab的值,即可解题.
【详解】解:∵a2018b能被45整除,
∴b=0或b=5,
当b=0时,ab=0;
当b=5时,a+2+0+1+8+5=a+16能被9整除,则a=2,故ab的最大值为5×2=10.
故选:A.
【巩固】(2024七年级·全国·竞赛)若正整数m、n、p、q满足mn=np=
三、有理数的乘方
【学霸笔记】
一、有理数乘方的意义
求相同因数的积的运算叫做乘方,相同因数叫做底数,相同因数的个数叫做指数,乘方的运算结果叫做幂.
一般地,记作,读作“a的n次方”,其中a叫做底数,n叫做指数,当看作a的n次方的计算结果时,也可以读作“a的n次幂”.
乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果;
一个数可以看作是它本身的一次方,指数1可省略不写;
底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来;
当负数或分数作为底数时,底数必须用括号括起来;
一个数的二次方又称为这个数的平方,一个数的三次方又称为这个数的立方.
二、有理数乘方的运算
有理数乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数;
负数的
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