数学优化训练：离散型随机变量的均值.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2。5随机变量的均值和方差

2.5.1离散型随机变量的均值

五分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.设Eξ=10,Eη=3，则E(3ξ+5η)为（）

A。45B.40C.30D。15

答案:A

解析：∵E（3ξ+5η)=3Eξ+5Eη=3×10+5×3=45.

2.一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击三次中靶次数X的均值为（)

A。0.8B。0。83C。3D.2。4

答案：D

解析：射手独立射击三次中靶次数X服从二项分布,即X—B（3，0.8)，∴EX=3×0。8=2.4。

3。袋中有7个球,其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球,以η表示取出的红球数,则Eη等于（)

A。B。C.D.

答案:B

解析：随机变量η的取值分别为0，1,2，3，且P(η=0)=，P（η=1）=,

P(η=2)=,P(η=3）=，

∴Eη=0×+1×+2×+3×=。

4。Eb=______________，其中b为常数.

答案：B

十分钟训练（强化类训练,可用于课中）

1.已知随机变量X的分布列是:

X

4

a

9

10

P

0。3

0。1

b

0.2

Ex=7.5，则a等于()

A.5B.6C.7D。8

答案：C

解析:由题意知4×0。3+0。1a+9b+2=7.5且0。6+b=1，所以a=7，b=0.4.

2。若离散型随机变量η的分布列为

η

x1

x2

x3

…

xi

…

xn

P

p1

p2

p3

…

pi

…

pn

其中p1+p2+p3+…+pn=1,则称Eη=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量η的________或_____________,它反映了____________。

答案：均值数学期望离散型随机变量取值的平均水平

阅读下列材料，解答3、4两个小题.

一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分，学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个。

3.学生甲在这次测验中的均值为______________。

答案：90

4.学生乙在这次测验中的均值为______________.

答案：25

解析:设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1~B（20,0。9）,X2～B（20,0。25),所以EX1=20×0。9=18；EX2=20×0.25=5。由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2,这样,他们在测验中的成绩的期望分别是：

E（5X1）=5EX1=5×18=90。

E(5X2）=5EX2=5×5=25。

5。证明E(aX+b)=aEX+b

证明:若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.因为P(Y=axi+b)=P（X=xi),i=1,2，…,n，所以,Y的分布列为

Y

ax1+b

ax2+b

…

axi+b

…

axn+b

P

p1

p2

…

pi

…

pn

于是EY=（ax1+b)p1+（ax2+b)p2+…+（axi+b)pi+…+（axn+b）pn

=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn）+b(p1+p2+…+pi+…+pn）=aEX+b,

即E（aX+b)=aEX+b.

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）

阅读下列材料，解答1、2两个小题.

一次数学单元考试由30个选择题构成,每个选择题有4个选项，其中有且只有1个选项是正确答案，每题选择正确得5分,不选或选错得0分,满分为150分,学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙选对任1题的概率为0.85。

1。学生甲在这次考试中的成绩的期望为（）

A。135 B.127。5C.150

答案:A

2.学生乙在这次考试中的成绩的期望为（)

A.135B.127。5C。150D。90

答