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常见函数图象的对称性及其重要推论

一、几种常见函数的图象的对称性：

⑴一次函数与常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点都是它的对称中心，与该直线相互垂直的直线都是它的对称轴.

⑵二次函数(a≠0)：是轴对称，不是中心对称，其对称轴为直线x＝－.

⑶三次函数：(a≠0)是中心对称，对称中心是.此结论可用图象变换法证明如下：假设其对称中心为(m,n)，按向量将其图象平移，则所得函数是奇函数，有，化简得＝0，此式对x∈R恒成立，所以，得，，即其对称中心是.

⑷反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其对称中心是原点，对称轴是y＝±x.

⑸幂函数：幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；其他幂函数不具对称性.

⑹正弦函数：既是轴对称又是中心对称，对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，对称轴为(k∈Z).正弦型函数既是轴对称又是中心对称，对称中心为(，0)(k∈Z)，对称轴为(k∈Z).

⑺余弦函数：既是轴对称又是中心对称，对称中心为(,0)(k∈Z)，对称轴为(k∈Z).

⑻正切函数：是中心对称，不是轴对称，(,0)(k∈Z)是它的对称中心.

⑼对勾函数是奇函数，所以是中心对称，原点是它的对称中心.

二、常见的两个函数图象之间的对称性：

⑴函数与的图象关于x轴对称

⑵函数与的图象关于y轴对称

⑶函数与的图象关于原点成中心对称

⑷函数与且的图象关于直线对称

三、同一函数图象自身的对称性

性质1：如果函数对定义域内任意x恒有，则函数的图象关于直线对称.

我们可用解析法证明：设是图象上的任意一点，有，它关于直线的对称点坐标为.在中，令，可得，所以有＝＝＝，即点也在图象上，从而函数的图象关于直线对称.

上述性质1中，若，则可得以下

推论1.1：如果函数对定义域内任意x恒有，则函数的图象关于直线对称.

进而当时，又可得以下

推论1.2：如果函数对定义域内任意x恒有(等价于)，则函数的图象关于直线对称.

特别的，当时，从推论1.2可得如下

推论1.3：如果函数对定义域内任意x恒有，则函数的图象关于y轴对称.这就是偶函数的性质.

性质2：如果函数对定义域内任意x恒有，，则函数的图象关于点成中心对称.

我们可以用这样一种思路来证明：既然函数对定义域内任意x恒有，那么函数的图象上的两点与的坐标之间就存在着这样的关系：，＝＝，也就是说，点是点P和点的中点，由x的任意性和中心对称的定义可知，函数的图象关于点成中心对称.

相应的，我们可以得到：

推论2.1：如果函数对定义域内任意x恒有＝，则函数的图象关于点成中心对称.

推论2.2：如果函数对定义域内任意x恒有＝2b－(等价于)，则函数的图象关于点成中心对称.

推论2.3：如果函数对定义域内任意x恒有，则函数的图象关于原点对称.这就是奇函数的性质.

四、两个函数图象之间的对称性

性质3：函数与函数的图象关于直线对称.

我们不妨用图象变换法来证明.因为＝，＝，所以，将函数的图象按向量得到的图象，将函数的图象按向量得到的图象.由轴对称的定义易证函数与的图象关于y轴对称，与的图象也关于y轴对称，从而函数与函数的图象关于直线对称.

相应的，我们可以得到：

推论3.1：函数与的图象关于直线对称.

推论3.2：函数与的图象关于y轴对称.

推论3.3：函数与的图象关于y轴对称.

性质4：函数与函数的图象关于点成中心对称.

我们可以用解析法来证明.在函数的图象上任取一点，则.点P关于的对称点坐标为.所以＝-＝＝＝，即点在函数的图象上.所以，函数与的图象关于点成中心对称.

相应的，我们可以得到：

推论4.1：函数与函数的图象关于点成中心对称.

推论4.2：函数与函数的图象关于点成中心对称.

推论4.3：函数与函数的图象关于点成中心对称.

推论4.4：函数与函数的图象关于原点成中心对称.